Calcul numérique et algébrique

Fractions et racines carrées


Simplifier l'écriture de chacun des nombres suivants (les fractions ne devront pas avoir de radical au dénominateur), puis en déduire le plus petit ensemble ( $ {\rm I\kern-.1567em N}$ , $ {\sf Z\kern-4.5pt Z}$ , $ \mathbb{Q}$ ou $ {\rm I\kern-.1567em R}$ ) auquel il appartient :

$ A= \dfrac{ {\left(1-\sqrt{3}~\right)}^2}{2- \sqrt{3}}$ ;

$ B=\dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{8}}{\sqrt{2}-\sqrt{8}}$ ;

$ C= \dfrac{2 \sqrt{3} - 3 \sqrt{2}}{\sqrt{6}}$ ;

$ D={\left( \sqrt{4-\sqrt{12}} - \sqrt{4+\sqrt{12}} \right)}^2$ .

Solution:


\begin{displaymath}\begin{array}{ll}A= \dfrac{ {\left(1-\sqrt{3}~\right)}^2}{2- ...
...3}~\right)\left(2+\sqrt{3}~\right)}
=\dfrac{2}{1}=2
\end{array}\end{displaymath}


donc $ A\in{\rm I\kern-.1567em N}$ .



\begin{displaymath}\begin{array}{l}B=\dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{8}}{\sqrt{2}-\sqrt{8}...
...}\sqrt{8}}{-6}
=\dfrac{10+2\sqrt{2\times 8}}{-6}
=-3\end{array}\end{displaymath}


donc $ B\in{\sf Z\kern-4.5pt Z}$ .



\begin{displaymath}\begin{array}{ll}
C
&= \dfrac{2 \sqrt{3} - 3 \sqrt{2}}{\sqrt{...
...ft(\sqrt{2}-\sqrt{3}~\right)}{6}
=\sqrt{2}-\sqrt{3}
\end{array}\end{displaymath}


donc $ C\in{\rm I\kern-.1567em R}$ .



\begin{displaymath}\begin{array}{ll}
D
&=\left(\sqrt{4-\sqrt{12}} - \sqrt{4+\sqr...
...t{12}
=8-2\sqrt{4^2-\sqrt{12}^2}
=8-\sqrt{16-12}
=6
\end{array}\end{displaymath}

donc $ D\in{\rm I\kern-.1567em N}$ .



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