Vérification de la solution d'une équation

Calcul algébrique sur radicaux et fractions


  1. Le réel $ a=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$ est-il solution de l'équation $ x^2-x-1=0$ ?
  2. Soit le réel $ b=\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}$ . Vérifier que $ 1+\dfrac{1}{b}=b$ .
  3. L'opposé du réel $ b$ est-il égal à l'inverse du réel $ a$ ?

Solution:


  1. $ a^2=\left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}~\right)^2
=\dfrac{\left(1+\sqrt{5}~\right)^2}{...
...sqrt{5}~\right)^2+2\sqrt{5}}{4}
=\dfrac{6+2\sqrt{5}}{4}
=\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}
$

    ainsi, $ a^2-a-1
=\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}-\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}-1
=\dfrac{\left(3+\sqrt{5}~\right)-\left(1+\sqrt{5}~\right)-2}{2}
=\dfrac{3+\sqrt{5}-1-\sqrt{5}-2}{2}
=0
$

    et donc, le réel $ a=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$ est bien solution de l'équation $ x^2-x-1=0$ .


  2. \begin{displaymath}\begin{array}[t]{ll}
1+\dfrac{1}{b}
&=1+\dfrac{1}{\dfrac{1-\s...
...
=\dfrac{-2+2\sqrt{5}}{-4}
=\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}=b
\end{array}\end{displaymath}

    et ainsi, le réel $b$ vérifie bien la relation $ 1+\dfrac{1}{b}=b$ .


  3. L'opposé du réel $ b$ est $ -b=-\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}$.

    L'inverse de $b$ est $\dfrac{1}{b}=\dfrac{1}{\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}}
=\dfrac{2}{1-\sqrt{5}}
=\dfr...
...)\left(1+\sqrt{5}~\right)}
=\dfrac{2+2\sqrt{5}}{-4}
=-\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$.

    L'opposé de $b$ n'est donc pas égal à l'inverse de $a$.



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