Résolution d'équations

Fractions et équation quotient nul


Résoudre les équations:
$(E_1): $\dfrac{x}{2x+1}=1

$(E_2): $\dfrac{2}{x-2}=\dfrac{3}{x-3}

$(E_3): $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{2}=1

$(E_4): $\dfrac{6x(x+1)}{x-4}=30\dfrac{120}{x-4}

Solution:



$(E_1): $\dfrac{x}{2x+1}=1
\iff
\dfrac{x}{2x+1}-1=0
\iff
\dfrac{x}{2x+1}-\dfrac{2x+1}{2x+1}=0
\iff
\dfrac{-x-1}{2x+1}=0
 
C'est une équation quotient, et donc, $\la\begin{array}{ll}
&-x-1=0 \vspd\\
\mbox{et,}\ &2x+1\not=0
\enar\right.
\iff
\la\begin{array}{ll}
&x=-1 \vspd\\
\mbox{et,}\ &x\not=-\frac{1}{2}
\enar\right.
, d'où $\mathcal{S}=\left\{}\newcommand{\ra}{\right\} -1\ra.
 
$(E_2): $\dfrac{2}{x-2}=\dfrac{3}{x-3}
\iff
\dfrac{2}{x-2}-\dfrac{3}{x-3}=0
\iff
\dfrac{2(x-3)}{(x-2)(x-3)}-\dfrac{3(x-2)}{(x-2)(x-3)}=0
\iff
\dfrac{-x}{(x-2)(x-3)}=0
.
 
C'est une équation quotient, et donc, $\la\begin{array}{ll}
&-x=0 \vspd\\
\mbox{et,}\ &(x-2)(x-3)\not=0
\enar\right.
\iff
\la\begin{array}{ll}
&x=0 \vspd\\
\mbox{et,}\ &x\not=2 \mbox{ et } x\not=3
\enar\right.
, d'où, $\mathcal{S}=\left\{}\newcommand{\ra}{\right\} 0 \ra.
 
$(E_3): $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{2}=1
\iff
\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{2}-1=0
\iff
\dfrac{2}{2x}+\dfrac{x}{2x}-\dfrac{2x}{2x}=0
\iff
\dfrac{2-x}{2x}=0
.
 
C'est une équation quotient et donc, $\la\begin{array}{ll}
&2-x=0\vspd\\
\mbox{et,}\ &2x\not=0
\enar\right.
\iff
\la\begin{array}{ll}
&x=2\vspd\\
\mbox{et,}\ &x\not=0
\enar\right.
, d'où, $\mathcal{S}=\left\{}\newcommand{\ra}{\right\} 2\ra.
 
$(E_4): $\dfrac{6x(x+1)}{x-4}=30+\dfrac{120}{x-4}
\iff\dfrac{6x(x+1)}{x-4}-\dfrac{30(x-4)}{x-4}-\dfrac{120}{x-4}=0
\iff\dfrac{6x^2+6x-30x+120-120}{x-4}=0
\iff\dfrac{6x^2-24x}{x-4}=0
On peut, et doit, factoriser le numérateur: $(E_4) \iff \dfrac{6x(x-4)}{x-4}=0
C'est une équation quotient, et donc, $\la\begin{array}{ll}6x(x-4)=0 \\\text{et, }x-4\not=0\enar\right.
\iff \la\begin{array}{ll}6x=0 \text{ ou, } x-4=0\\\text{et,}x-4\not=0\enar\right.
Finalement, cette équation a une seule solution: $\mathcal{S}=\la0\ra.


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