Vecteurs et coordonnées

Centre et rayon d’un cercle


Dans un repère orthonormé, on donne les points: $ A(-1;2)$ ; $ B(7;-8)$ et, $ E(7;2)$
a) Déterminer les coordonnées du centre $ I$ et le rayon $ R$ du cercle $ \mathcal{C}$ de diamètre $ [AB]$ ?
b) Démontrer que le point $ E$ est sur le cercle $ \mathcal{C}$ .

Solution:


a) Le centre $ I$ est le milieu de $ [AB]$ , et a pour coordonnées: $ \displaystyle I\left(\frac{-1+7}{2};\frac{2+(-8)}{2}\right)$ , soit, $ I(3;-3)$ .

On calcule: $ \overrightarrow{AB}(8;-10)$ , et donc, $ AB=\sqrt{8^2+(-10)^2}=\sqrt{164}=\sqrt{4\times 41}=2\sqrt{41}$ .

On en déduit que le rayon du cercle est $ \displaystyle R=\frac{AB}{2}=\sqrt{41}$ .

b) On calcule la longueur $ IE$ : $ \overrightarrow{IE}(4;5)$ , et ainsi, $ IE=\sqrt{4^2+5^2}=\sqrt{41}=R$ .

$ E$ est donc bien sur le cercle de diamètre $ [AB]$ .



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