Coordonnées en géométrie

Calculs généraux


Soit trois points $ A(-6;1)$ , $ B(6;6)$ et $ C(24;8)$ .

  1. Déterminer les coordonnées du point $ I$ milieu de $ [BC]$ .
  2. Déterminer les coordonnées des vecteurs $ \overrightarrow{AB}$ et $ \overrightarrow{AC}$ .
  3. Déterminer les coordonnées du point $ D$ tel que $ \overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$ .
  4. Les droites $ (BD)$ et $ (AC)$ sont-elles parallèles ?
  5. Quelles sont les coordonnées du point $ J$ milieu de $ [AD]$ ?

Solution:


  1. Le milieu $ I$ de $ [BC]$ a pour coorodnnées: $ \left(\dfrac{6+24}{2};\dfrac{6+8}{2}\right)
=\left(15;7\right)$ .
  2. $ \overrightarrow{AB}$ a pour coordonnées $ \Big( 6-(-6);6-1\Big)=(12;5)$ .

    $ \overrightarrow{AC}$ a pour coordonnées $ \Big( 24-(-6);8-1\Big)=(30;7)$ .

  3. Soit $ (x;y)$ les coordonnées du point $ D$ , alors $ \overrightarrow{AD}$ a pour coordonnées: $ \Big( x-(-6);y-1\Big)=(x+6;y-1)$ .

    De plus, le vecteur $ \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$ a pour coordonnées: $ (12+30;5+7)=(42;12)$ .

    On a alors, $ \overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\iff
\left\{\begi...
...ay}\right.
\iff
\left\{\begin{array}{ll}
x=36 \\ y=13
\end{array}\right.
$

    Ainsi, le point $ D$ a pour coordonnées $ (36;13)$ .

  4. On peut calculer les coordonnées des vecteurs $ \overrightarrow{BD}$ et $ \overrightarrow{AC}$ et vérifier qu'ils sont colinéaires.

    On peut aussi dire que le quadrilatère $ ABDC$ est un parallélogramme, par constuction même du point $ D$ (règle du parallélogramme), et donc que ses côtés opposés sont parallèles.

    Ainsi, les droites $ (BD)$ et $ (AC)$ sont parallèles.

  5. De même, comme $ ABDC$ est un prarallélogramme, ses diagonales se coupent en leur milieu, et donc, $ I=J$ .

    Les coordonnées de $ J$ sont donc celles calculées au 1), soit $ (15;7)$ .



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