Vecteurs et coordonnées

Calculs algébriques pour un triangle isocèle ou rectangle


Soit $ x$ un nombre réel. On considère les points $ A(-2;1)$ , $ B(2;-1)$ et $ C(x;2x)$ .

  1. Montrer que pour tout $ x$ le triangle $ ABC$ est isocèle de sommet $ C$ .

  2. Déterminer $ x$ pour que le triangle $ ABC$ soit rectangle en $ C$ .

Solution:


Soit $ x$ un nombre réel. On considère les points $ A(-2;1)$ , $ B(2;-1)$ et $ C(x;2x)$ .

  1. On calcule les longueurs $ AC$ et $ BC$ :

    $\displaystyle AC=\sqrt{\left(x-(-2)\right)^2+\left(2x-1\right)^2}
=\sqrt{\left(x+2\right)^2+\left(2x-1\right)^2}
=\sqrt{5x^2+5}
$

    $\displaystyle BC=\sqrt{\left(x-2\right)^2+\left(2x-(-1)\right)^2}
=\sqrt{\left(x-2\right)^2+\left(2x+1\right)^2}
=\sqrt{5x^2+5}
$

    On trouve donc que, pour tout $ x$ réel, $ AC=BC$ : le triangle $ ABC$ est isocèle de sommet $ C$ .

  2. On veut que le triangle $ ABC$ soit rectangle en $ C$ . Alors, d'après le théorème de Pythagore,

    $\displaystyle CA^2+CB^2=AB^2
$

    D'après la question précédente, on connaît déjà $ AC^2=BC^2=5x^2+5$ .

    De plus, $ AB^2= \Big( 2-(-2)\Big)^2 + \Big( -1-1\Big)^2=20$ .

    Pour que le triangle $ ABC$ soit rectangle en $ C$ , on doit donc avoir

    $\displaystyle (5x^2+5)+(5x^2+5)=20
\iff
10x^2+10=20
\iff
x^2=1
\iff
\Big( x=1 \ $   ou$\displaystyle \ x=-1 \Big)
$

    Pour que le triangle soit rectangle en $ C$ , on doit donc avoir $ x=1$ ou $ x=-1$ .


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