Points, vecteurs et coordonnées

Démonstration de l'alignement de points dans une figure géométrique


Dans la figure ci-dessous, $ABCD$ est un carré de côté 1, et les triangles $DEC$ et $BCF$ sont équliatéraux.
\[\begin{pspicture}(-.5,-.5)(4.5,4.5)
  \pspolygon(0,0)(4,0)(4,4)(0,4)
  \psline(0,4)(2,.6)(4,4)(7.4,2)(4,0)
  \rput(-.2,-.2){$A$}
  \rput(4,-.25){$B$}
  \rput(4,4.2){$C$}
  \rput(-.2,4.2){$D$}
  \rput(2,.25){$E$}
  \rput(7.6,2){$F$}
\end{pspicture}\]

  1. Déterminer la hauteur $h$ des triangles $DEC$ et $BCF$.
  2. Dans le repère $\left( A;\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}\rp$, donner les coordonnées de tous les points de la figure.
  3. Montrer que les points $A$, $E$ et $F$ sont alignés.

Solution:


  1. $DEC$ et $BCF$ sont des triangles équilatéraux de côté 1.
    Dans $DEC$, soit $H$ le pied de la hauteur issue de $E$, qui est aussi la médiatrice de $[DC]$:
    \[\begin{pspicture}(-.4,0)(4.4,4.4)
  \pspolygon(0,4)(4,4)(2,0.6)
  \psline(2,.6)(2,4)\psline(2,3.8)(2.2,3.8)(2.2,4)
  \rput(-.2,4){$D$}\rput(4.2,4){$C$}
  \rput(2,.4){$E$}\rput(2,4.2){$H$}
  \end{pspicture}\]

    Avec le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle $DEH$, on a $DH^2+HE^2=DE^2$, soit $\lp\dfrac12\rp^2+h^2=1^2\iff h^2=1-\lp\dfrac12\rp^2
  =a^2-\dfrac14=\dfrac{3}{4}$, et donc $h=\sqrt{\dfrac34}=\dfrac{\sqrt3}{2}$,

  2. \[\begin{pspicture}(-.5,-.5)(4.5,4.5)
  \psline[linecolor=red,linewidth=1.8pt,arrowsize=8pt]{->}(0,0)(4,0)
  \psline[linecolor=red,linewidth=1.8pt,arrowsize=8pt]{->}(0,0)(0,4)
  \pspolygon(0,0)(4,0)(4,4)(0,4)
  \psline(0,4)(2,.6)(4,4)(7.4,2)(4,0)
  \rput(-.2,-.2){$A$}
  \rput(4,-.25){$B$}
  \rput(4,4.2){$C$}
  \rput(-.2,4.2){$D$}
  \rput(2,.25){$E$}
  \rput(7.6,2){$F$}
  \psline[linestyle=dashed](2,.6)(2,4)
  \rput(1.75,2.5){$h$}
  \psline[linestyle=dashed](4,2)(7.4,2)
  \rput(5.3,2.2){$h$}
\end{pspicture}\]

    Dans le repère $\left( A;\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}\rp$, on a directement $A(0;0)$, $B(1;0)$ et $D(0;1)$, puis $C(1;1)$, et $E\lp\dfrac12;1-h\rp$, soit $E\lp\dfrac12;1-\dfrac{\sqrt3}{2}\rp$, et de même $F\lp1+\dfrac{\sqrt3}{2};\dfrac12\rp$.
  3. On a alors $\overrightarrow{AE}\lp\dfrac12;1-\dfrac{\sqrt3}{2}\rp$ et $\overrightarrow{AF}\lp1+\dfrac{\sqrt3}{2};\dfrac12\rp$, et
    \[\dfrac12\tm\dfrac12-\lp1-\dfrac{\sqrt3}{2}\rp\tm\lp1+\dfrac{\sqrt3}{2}\rp
  =\dfrac14-\lp1-\lp\dfrac{\sqrt3}{2}\rp^2\rp
  =\dfrac14-1+\dfrac34=0\]

    on en déduit que $\overrightarrow{AE}$ et $\overrightarrow{AF}$ sont colinéaires, donc que $A$, $E$ et $F$ sont alignés.


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