Points, vecteurs et coordonnées

Calcul vectoriel - Colinéarité, alignement et intersection de droites


On considère, dans un repère $\left( O;\vec{i},\vec{j}\rp$ du plan, les points $A(1;1)$, $B(-2;-8)$, $C(2;-6)$ et $D(-1;3)$.
  1. Le point $E(5;13)$ appartient-il à $(AB)$ ?
  2. Le point $F(-6;18)$ appartient-il à $(CD)$ ?
  3. Déterminer les coordonnées du point $G$ de $(AB)$ et d'ordonnée 9.
  4. Déterminer les coordonnées du point $H$ de $(CD)$ et d'abscisse $-5$.
    1. Montrer que les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont sécantes.
    2. Déterminer les coordonnées du point $I$ d'intersection de $(AB)$ et $(CD)$.

Solution:


  1. $E$ appartient à $(AB)$ si et seulement si $A$, $B$ et $E$ sont alignés, donc si et seulement si $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AE}$ sont colinéaires, ce qui est le cas car on a $\overrightarrow{AB}(-3;-9)$ et $\overrightarrow{AE}(4;12)$, et $-3\tm12-(-9)\tm4=-36+36=0$.
  2. De même, $\overrightarrow{CF}(-8;24)$ et $\overrightarrow{DF}(-5;15)$, et $-8\tm15-24\tm(-5)=-120+120=0$, donc $\overrightarrow{CF}$ et $\overrightarrow{DF}$ sont colinéaires et alors $C$, $D$ ef $F$ sont lignés, ou encore $F\in(CD)$.
  3. $G$ a comme ordonnée 9, donc soit $G(x;9)$. De même que précédemment, on a $\overrightarrow{AB}(-3;-9)$ et $\overrightarrow{AG}(x-1;8)$, et donc $G\in(AB)$ si et seulement si $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AG}$ colinéaires, si et seulement si $-3\tm8-(-9)\tm(x-1)=0\iff -24+9x-9=0\iff x=\dfrac{33}{9}=\dfrac{11}{3}$.
  4. $H$ a comme abscisse $-5$, donc soit $H(-5;y)$. On a $\overrightarrow{CD}(-3;9)$ et $\overrightarrow{CH}(-7;y+6)$ et donc $H\in(CD)$ si et seulement si $\overrightarrow{CD}$ et $\overrightarrow{CH}$ colinéaires soit $-3\tm(y+6)-9\tm(-7)=0\iff y=15$.
    1. Les vecteurs $\overrightarrow{AB}(-3;-9)$ et $\overrightarrow{CD}(-3;9)$ ne sont pas colinéaires, car $-3\tm9-(-9)\tm(-3)=-27-27=-54\not=0$, et donc les droites $(AB)$ et $(CD)$ ne sont pas parallèles, donc sécantes.
    2. Soit $I(x;y)$ le point d'intersection de $(AB)$ et $(CD)$.
      Alors $\overrightarrow{AB}(-3;-9)$ et $\overrightarrow{AI}(x-1;y-1)$ sont colinéaires, donc $-3(y-1)-(-9)(x-1)=0\iff -3y+9x-6=0$.
      De même, $\overrightarrow{CD}(-3;9)$ et $\overrightarrow{CI}(x-2;y+6)$ sont colinéaires, donc $-3(y+6)-9(x-2)=0\iff -3y-9x=0\iff y=-3x$.
      En reportant dans la première équation, on obtient $-3(-3x)+9x-6=0\iff x=\dfrac{6}{18}=\dfrac13$.
      Enfin, comme $y=-3x$, on a alors $y=-3\tm\dfrac13=-1$.
      Ainsi, l'intersection de $(AB)$ et $(CD)$ est $I\lp\dfrac13;-1\rp$.


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