Points, vecteurs et coordonnées

Calcul vectoriel - Vecteurs colinéaires et alignement


Dans un repère du plan, on donne les points $A(-1;3)$, $B(1;1)$, $C(2;2)$ et $D(3;4)$.
  1. Calculer les coordonnées des points $E$, $F$ et $G$ tels que
    1. $\overrightarrow{AE}=3\overrightarrow{AB}$
    2. $C$ est le milieu de $[AF]$
    3. $\overrightarrow{AG}=\dfrac32\overrightarrow{AD}$
  2. Démontrer que les points $E$, $F$ et $G$ sont alignés.

Solution:


$A(-1;3)$, $B(1;1)$, $C(2;2)$ et $D(3;4)$.
    1. Soit $E(x;y)$, alors $\overrightarrow{AE}(x+1;y-3)$ et $\overrightarrow{AB}(2;-2)$, et donc $3\overrightarrow{AB}(6;-6)$
      d'où $\overrightarrow{AE}=3\overrightarrow{AB}\iff\la\begin{array}{l}x+1=6\\y-3=-6\enar\right.
    \iff\la\begin{array}{l}x=5\\y=-3\enar\right.$. On a donc $E(5;-3)$.
    2. Soit $F(x;y)$, alors $\la\begin{array}{l}2=\dfrac{-1+x}{2}\\2=\dfrac{3+y}{2}\enar\right.
    \iff\la\begin{array}{l}x=5\\y=1\enar\right.$. Donc $F(5;1)$.
    3. Soit $G(x;y)$, alors $\overrightarrow{AG}(x+1;y-3)$ et $\overrightarrow{AD}(4;1)$ d'où $\dfrac32\overrightarrow{AD}\lp6;\dfrac32\rp$, d'où $\overrightarrow{AG}=\dfrac32\overrightarrow{AD}\iff\la\begin{array}{l}x+1=6\\y-3=\dfrac32\enar\right.
    \iff\la\begin{array}{l}x=5\\y=\dfrac92\enar\right.$. Donc $G\lp5;\frac92\rp$.
  1. Les points $E$, $F$ et $G$ ont tous comme abscisse 5, et sont donc situés sur la même droite verticale du repère: ils sont bien alignés.
    Par le calcul: $\overrightarrow{EF}(0;4)$ et $\overrightarrow{EG}\lp0;\dfrac{15}{2}\rp$, et alors, comme $0\tm\dfrac{15}{2}-4\tm0=0$, ces vecteurs sont colinéaires, et donc les points $E$, $F$ et $G$ sont alignés.


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