Points, vecteurs et coordonnées

Calcul vectoriel - Vecteurs colinéaires

Dans un repère orthonormé du plan, on donne les points $A(-3;5)$, $B(2;3)$, $C(12;-1)$.
  1. Calculer les longueurs $AB$ et $BC$.
  2. Montrer que les points $A$, $B$ et $C$ sont alignés.
  3. Déterminer les coordonnées du point $D$ qui est l'intersection de la droite $(AB)$ et de l'axe des abscisses.

Solution:


  1. $AB=\sqrt{(2+3)^2+(3-5)^2}=\sqrt{29}$ et $BC=\sqrt{(12-2)^2+(-1-3)^2}=\sqrt{116}=2\sqrt{29}$.
  2. $\overrightarrow{AB}(5;-2)$ et $\overrightarrow{AC}(15;-6)$. Alors, comme $5\tm(-6)-(-2)\tm15=-30+30=0$, les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires, et donc les points $A$, $B$ et $C$ sont alignés.
  3. Soit $D(x;y)$. Comme $D$ est sur l'axe des abscisses, on a $y=0$, donc $D(x;0)$.
    De plus, $D$, $A$ et $B$ sont alignés, donc $\overrightarrow{AB}(5;-2)$ et $\overrightarrow{AD}(x+3;-5)$, sont colinéaires. On doit donc avoir $5\tm(-5)-(-2)\tm(x+3)=0\iff x=\dfrac{19}{2}$. D'où $D\lp\dfrac{19}{2};0\rp$.

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