Résolution d'inéquations

Tableau de signes


Résoudre les inéquations:
  1.  
  2.  

Solution:


  1. On dresse le tableau de signe de l'expression: $(x+3)(-2x+5)$
    \[
  \begin{tabular}{|c|ccccccc|}\hline
    $x$ & $-\infty$ && $-3$ && $\frac{5}{2}$ && $+\infty$ \\\hline
    $x+3$ && $-$ & \mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$} & $+$ & $|$ & $+$ & \\\hline
    $-2x+5$ && $+$ & $|$ & $+$ & \mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$} & $-$ & \\\hline
    $(x+3)(-2x+5)$ && $-$ &\zb& $+$ &\zb& $-$ & \\\hline
  \end{tabular}
  \]


    Ainsi, $(x+3)(-2x+5)\geqslant 0 \iff x\in\lb-3;\dfrac{5}{2}\rb$.
     
  2. $\begin{array}[t]{ll}
  (2x-3) > (2-x)(2x-3)
  &\iff 
  (2x-3)-(2-x)(2x-3)> 0 \\ 
  &\iff 
  (2x-3)\Bigl[ 1 - (2-x)\Bigr] > 0 \\
  &\iff 
  (2x-3)(x-1)> 0
  \enar$
    \[
  \begin{tabular}{|c|ccccccc|}\hline
    $x$ & $-\infty$ && $1$ && $\frac{3}{2}$ && $+\infty$ \\\hline
    $2x-3$ && $-$ & $|$ & $-$ & \mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$} & $+$ & \\\hline
    $x-1$ && $-$ & \mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$} & $+$ & $|$ & $+$ & \\\hline
    $(2x-3)(x-1)$ && $+$ &\zb& $-$ &\zb& $+$ & \\\hline
  \end{tabular}
  \]

    Ainsi, $(2x-3) > (2-x)(2x-3) \iff x\in]-\infty;1[\cup]\frac{3}{2};+\infty[$.
     
  3. $\dfrac{2}{3x-6}< 3
  \iff \dfrac{2}{3x-6} -3 < 0 
  \iff \dfrac{-9x+20}{3x-6}< 0
  $
    \[
  \begin{tabular}{|c|ccccccc|}\hline
    $x$ & $-\infty$ && $2$ && $\frac{20}{9}$ && $+\infty$ \\\hline
    $-9x+20$ && $+$ & $|$ & $+$ & \mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$} & $-$ & \\\hline
    $3x-6$ && $-$ & \mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$} & $+$ & $|$ & $+$ & \\\hline
    $\dfrac{-9x+20}{3x-6}$ && $-$ &\db& $+$ &\zb& $-$ & \\\hline
  \end{tabular}
  \]

    Ainsi, $\dfrac{2}{3x-6}< 3 
  \iff x\in \Bigl]-\infty;2\Bigr[\cup\Bigl[\frac{20}{9};+\infty\Bigr[$


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