Vecteurs et coordonnées

Nature d'un quadrilatère


On considère dans un repère orthonormal les points $ A(-1;2)$ , $ B(2;3)$ et $ C(0;-1)$ .
1) Quelle est la nature du triangle $ ABC$ ?
2) Déterminer les coordonnés du point $ D$ tel que le quadrilatère $ ABDC$ soit un parallélogramme.
3) Calculer les longueurs $ AD$ et $ BC$ .

Que remarque-t-on ? Etait-ce prévisible ?

Solution:


1)
On peut calculer les longueurs des côtés de ce triangle:

$ \overrightarrow{AB}(3;1)$ et donc, $ AB=\sqrt{3^2+1^1}=\sqrt{10}$

$ \overrightarrow{BC}(-2;-4)$ et donc, $ BC=\sqrt{(-2)^2+(-4)^1}=\sqrt{20}$

$ \overrightarrow{AC}(1;-3)$ et donc, $ AC=\sqrt{1^1+(-3)^2}=\sqrt{10}$

On remarque que $ AB=AC$ , et donc le triangle est isocèle en $ A$ . De plus, $ BC^2=AB^2+AC^2$ , et donc, d'après le théorème de Pythagore, le triangle est aussi rectangle en $ A$ .


2)
Soit $ D(x;y)$ les coordonnées de $ D$ . $ ABDC$ est un quadrilatère si $ \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$ .

Or, $ \overrightarrow{AB}(3;1)$ et $ \overrightarrow{CD}(x;y+1)$ . On doit donc avoir $ x=3$ et $ y+1=1$ , donc $ y=0$ .

Finalement, le point $ D$ a pour coordonnées $ D(3;0)$ .


3)
$ \overrightarrow{AD}(4;-2)$ , et donc $ AD=\sqrt{4^2+(-2)^2}=\sqrt{20}$ . D'autre part, d'après la question 1), $ BC=\sqrt{20}$

Les diagonales $ [AD]$ et $ [BC]$ ont la même longueur, ce qui était prévisible car, comme le triangle $ ABC$ est rectangle isocèle en $ A$ , le parallélogramme $ ABDC$ est en fait un carré.



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