Coordonnées en géométrie

Calculs généraux


Soit, dans un repère orthonormé du plan, les points $A(1;3)$; $B(2;-4)$; $C(3;5)$ et $D(-3;-2)$.
  1. Faire une figure et placer les points $A$, $B$, $C$ et $D$.
  2. Représenter $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$, et construire le vecteur $\overrightarrow{AE}$ tel que $\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AC}$.
  3. Donner les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{BC}$ et $\overrightarrow{DA}$.
  4. Calculer les longueurs $AB$, $BC$ et $DA$.
  5. Soit $F(31;2)$. Quelles sont les coordonnées du milieu $I$ de $[AF]$ ?
    Calculer la longueur $AF$.

Solution:


Dans le repère orthonormé $\left( O;\vec{i},\vec{j}\rp$: $A(1;3)$; $B(2;-4)$; $C(3;5)$ et $D(-3;-2)$.

  1. \[\psset{unit=1cm,arrowsize=7pt}
\begin{pspicture}(-5,-5)(7,5)
\psline{->}(-5,0)(7,0)
\psline{->}(0,-5)(0,5)\rput(-.3,-.3){$O$}
\psline[linewidth=1.8pt]{->}(0,0)(1,0)\rput(.5,-.35){$\overrightarrow{i}$}
\psline[linewidth=1.8pt]{->}(0,0)(0,1)\rput(-.3,.5){$\overrightarrow{j}$}
\rput(1,3){$\tm$}\rput(.8,3.2){$A$}
\rput(2,-4){$\tm$}\rput(1.8,-4.2){$B$}
\rput(3,5){$\tm$}\rput(2.8,5.2){$C$}
\rput(-3,-2){$\tm$}\rput(-3.2,-2.2){$D$}
%
\psline[linewidth=1.4pt,linecolor=blue]{->}(1,3)(2,-4)
\rput(1.8,1){\blue{$\overrightarrow{AB}$}}
\psline[linewidth=1.4pt,linecolor=blue]{->}(1,3)(3,5)
\rput(2.2,3.8){\blue{$\overrightarrow{AC}$}}
\psline[linewidth=1.4pt,linecolor=blue]{->}(2,-4)(4,-2)
\psline[linecolor=blue,linestyle=dashed](3,5)(4,-2)
\rput(2.8,-2.6){\blue{$\overrightarrow{AC}$}}
\psline[linewidth=1.4pt,linecolor=blue]{->}(4,-2)(6,0)
\rput(4.8,-.7){\blue{$\overrightarrow{AC}$}}
\rput(6,0){\red$\tm$}
\rput(6,.3){\red$E$}
\end{pspicture}\]


  2. De manière générale: $\overrightarrow{AB}(x_B-x_A;y_B-y_A)$, donc ici:
    $\overrightarrow{AB}(2-1;-4-3)$ soit $\overrightarrow{AB}(1;-7)$
    $\overrightarrow{BC}(3-2;5-(-4))$ soit $\overrightarrow{BC}(1;9)$
    $\overrightarrow{DA}(1-(-3);3-(-2))$ soit $\overrightarrow{DA}(4;5)$.
  3. De manière générale, si $\vec{u}(x;y)$, alors $\|\vec{u}\|=\sqrt{x^2+y^2}$, donc ici, grâce à la question précédente:
    $AB=\sqrt{1^2+(-7)^2}=\sqrt{50}=5\sqrt2$, $BC=\sqrt{1^2+9^2}=\sqrt{82}$ et $DA=\sqrt{4^2+5^2}=\sqrt{41}$.
  4. De manière générale, le milieu $I$ de $[AB]$ est $I\left( \dfrac{x_A+xx_B}{2};\dfrac{y_A+y_B}{2}\rp$, donc ici, $I\lp\dfrac{1+31}{2};\dfrac{3+2}{2}\rp$, soit $I\left( 16;\dfrac52\rp$.
    $\overrightarrow{AF}\left( 31-1;2-3\rp$ soit $\overrightarrow{AF}(30;-1)$ et donc $AF=\sqrt{30^2+(-1)^2}=\sqrt{901}$.


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