Exercice Bac STI2D & STL - juin 2014

QCM: nombres complexes


Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n'est demandée. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l'absence de réponse à une question ne rapportent ni n'enlèvent de point.
Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse correspondante.


On considère les deux nombres complexes $z=2e^{i\frac{2\pi}{3}}$ et $z'=2e^{-i\frac{2\pi}{3}}$.
  1. La forme algébrique de $z$ est égale à :

    $${*4{p{3.8cm}}}
\textbf{a.} $z=-1+i\sqrt{3}$&
\textbf{b.} $z=1+i\sqrt{3}$&
\textbf{c.} $z=2+i\sqrt{3}$&
\textbf{d.} $z=\sqrt{3}-i$
$$



  2. Le nombre complexe $z'$ est le nombre complexe :

    $${*3{p{3.6cm}}p{4.8cm}}
\textbf{a.} oppos\'e de $z$&
\textbf{b.} inverse de $z$&
\textbf{c.} conjugu\'e de $z$&
\textbf{d.} oppos\'e du conjugu\'e de~$z$
$$



  3. Le nombre complexe $z \times z'$:

    $${p{.1em}p{2.8cm}
p{.1em}p{3cm}
p{.1em}p{3.2cm}
p{.1em}p{4.4cm}
}
\textbf{a.}& est un nombre r\'eel&
\textbf{b.}& est un nombre imaginaire pur&
\textbf{c.}& a pour module 2&
\textbf{d.}& est un nombre complexe dont un argument est
$\dfrac{4\pi}{3}$ 
$$


  4. Un argument du nombre complexe $z''$ tel que $z \times z''=i$ est:

    $${*4{p{3.8cm}}}
\textbf{a.} $\dfrac{\pi}{3}$&
\textbf{b.} $\dfrac{5\pi}{6}$&
\textbf{c.} $\dfrac{\pi}{6}$&
\textbf{d.} $-\dfrac{\pi}{6}$
$$

Solution:


  1. a. $z=2e^{i\frac{2\pi}{3}}
  =2\lp\cos\lp\dfrac{2\pi}{3}\rp+i\sin\lp\dfrac{2\pi}{3}\rp\rp
  =2\lp-\dfrac12+i\dfrac{\sqrt3}{2}\rp=-1+i\sqrt3$
  2. c. $z'=\overline{z}$
  3. a. $z \times z'=z\times\overline{z}=|z|^2 \in\R$
  4. d. $z \times z''=i$ donc $\arg(z\times z'')=\arg(z)+\arg(z'')=\arg(i)$
    ainsi, comme $\arg(i)=\dfrac\pi2$, on a $\arg(z'')=\dfrac\pi2-\arg(z)
  =\dfrac\pi2-\dfrac{2\pi}{3}=-\dfrac\pi6$


Autres ressources