Exercice Bac STI2D & STL - juin 2016

QCM: nombres complexes

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n'est demandée. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l'absence de réponse à une question ne rapportent ni n'enlèvent de point.
Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse.
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $\left( O;\vec{u},\vec{v}\rp$. On note $i $ le nombre complexe vérifiant $i^2=-1$
  1. Un argument du nombre complexe $2 + 2i$ est égal à :

    $${*4{p{3cm}}} {\bf a.} $-\dfrac{\pi}{4}$& {\bf b.} $-\dfrac{9\pi}{4}$& {\bf c.} $2\sqrt 2$& {\bf d.} $\dfrac{\pi}{4}$ $$

  2. Le nombre complexe $e^{i\frac{\pi}{5}}\times e^{i\frac{2\pi}{15}}$ est égal à:

    $${*3{p{3cm}}p{5cm}} {\bf a.} $\frac12+ \frac{\sqrt 3}{2}i$& {\bf b.} $\frac{\sqrt3}{2}+\frac12i$& {\bf c.} $0,5+0,866i$& {\bf d.} $0,5+ 0,8660254038i$ $$


  3. On considère les points $A$ et $B$ d'affixes respectives $z_A=2e^{i\frac{\pi}{3}}$ et $z_B=\frac52 e^{i\frac{5\pi}{6}}$. Le triangle $OAB$ est:

    $${*2{p{3.2cm}}p{5cm}p{4.2cm}} {\bf a.} isoc\`ele en $O$& {\bf b.} rectangle en $O$& {\bf c.} rectangle et isoc\`ele en $B$& {\bf d.} isoc\`ele en $B$ $$


  4. Pour tout nombre réel $\theta$, le nombre complexe $e^{i\theta}+\dfrac{1}{e^{i\theta}}$ est égal à:

    $${*4{p{3.3cm}}} {\bf a.} $2\cos\lp\theta\rp$& {\bf b.} $\cos\lp\theta\rp+i\sin\lp\theta\rp$& {\bf c.} $1$& {\bf d.} $2i\sin\lp\theta\rp$ $$


Solution:


  1. d. $2+2i=2\sqrt2 e^{i\frac\pi4}$, donc $\arg\lp2+2i\rp=\dfrac\pi4$.
  2. a. $e^{i\frac{\pi}{5}}\times e^{i\frac{2\pi}{15}} =e^{i\lp\frac\pi5+\frac{2\pi}{15}\right)} =e^{i\frac{5\pi}{15}}=e^{i\frac{\pi}{3}}=\dfrac12+i\dfrac{\sqrt3}{2}$
  3. b. $\left( \overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}\rp=\arg\left( z_A\rp-\arg\left( z_B\rp =\dfrac{5\pi}{6}-\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\pi}{2}$.
  4. a. $e^{i\theta}+\dfrac{1}{e^{i\theta}} =e^{i\theta}+e^{-i\theta} =\cos(\theta)+i\sin(\theta)+\cos(\theta)-i\sin(\theta) =2\cos(\theta)$

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