Exercice Bac STI2D & STL - juin 2014
Exponentielle et équation différentielle du 1er ordre
Dans cet exercice, la température est exprimée en degrés Celsius (


Une entreprise congèle des ailerons de poulet dans un tunnel de congélation avant de les conditionner en sachets. À l'instant



Partie A
La température des ailerons dans le tunnel de congélation est modélisée en fonction du temps




- Déterminer la température atteinte par les ailerons au bout de 30 minutes, soit 0,5 h.
- Étudier le sens de variation de la fonction
.
- Si les ailerons de poulet sont laissés une heure et demie dans le tunnel de congélation, la température des ailerons sera-t-elle conforme au cahier des charges ?
- Résoudre par le calcul l'équation
et interpréter le résultat trouvé.
Partie B
Pour moderniser son matériel, l'entreprise a investi dans un nouveau tunnel de congélation.
La température des ailerons dans ce nouveau tunnel est modélisée, en fonction du temps, par une fonction



- Résoudre l'équation différentielle
.
-
- Justifier que
.
- Vérifier que la fonction
est définie par
.
- Justifier que
- Ce nouveau tunnel permet-il une congélation plus rapide ?
Solution:
Partie A
- La température atteinte au bout de
30 minutes est
.
- On a
, avec
donc
,
et alors.
Comme, pour tout réel,
, on a
pour tout
, et donc
est décroissante sur l'intervalle
.
- Après une heure et demie dans le tunnel de congélation,
la température des ailerons sera de
et sera donc conforme au cahier des charges.
-
Il faut donc environ 1,10 heure, soit environ une heure et 6 minutes pour que la température des ailerons soit conforme au cahier des charges.
Partie B
Pour moderniser son matériel, l'entreprise a investi dans un nouveau tunnel de congélation.
La température des ailerons dans ce nouveau tunnel est modélisée, en fonction du temps, par une fonction



- L'équation différentielle sans second membre
a pour solution générale
, pour tout réel
.
Une solution particulière de l'équation différentielleest
.
Ainsi, les solutions desont
,
.
-
-
est la température des ailerons dans le tunnel de congélation au bout d'un temps
. À l'entrée du tunnel, soit à
, la température est de
, en d'autres termes
.
-
est une solution de l'équation différentielle précédente, donc
; de plus,
.
Ainsi, on a bien.
-
- De même qu'à la question 4. de la partie A,
on a
La congélation s'effectue maintenant en environ 0,86 heure, soit environ 51 minutes, et est donc plus rapide.
Autres ressources