Exercice Bac STI2D & STL - juin 2014

Exponentielle et équation différentielle du 1er ordre

Exercice corrigé du bac STI2D / STL - Métropole juin 2014 - Fonction exponentielle et équation différentielle du 1er ordre


Dans cet exercice, la température est exprimée en degrés Celsius ($^\circ\text{C}$) et le temps $t$ est exprimé en heures.
Une entreprise congèle des ailerons de poulet dans un tunnel de congélation avant de les conditionner en sachets. À l'instant $t=0$, les ailerons, à une température de $5^\circ\text{C}$, sont placés dans le tunnel. Pour pouvoir respecter la chaîne du froid, le cahier des charges impose que les ailerons aient une température inférieure ou égale à $-24^\circ\text{C}$.


Partie A


La température des ailerons dans le tunnel de congélation est modélisée en fonction du temps $t$ par la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0,+\infty[$ par $f (t) = 35e^{-1,6t}-30$.
  1. Déterminer la température atteinte par les ailerons au bout de 30 minutes, soit 0,5 h.
  2. Étudier le sens de variation de la fonction $f$.
  3. Si les ailerons de poulet sont laissés une heure et demie dans le tunnel de congélation, la température des ailerons sera-t-elle conforme au cahier des charges ?
  4. Résoudre par le calcul l'équation $f(t)=-24$ et interpréter le résultat trouvé.



Partie B
Pour moderniser son matériel, l'entreprise a investi dans un nouveau tunnel de congélation.
La température des ailerons dans ce nouveau tunnel est modélisée, en fonction du temps, par une fonction $g$ définie et dérivable sur l'intervalle $[0,+\infty[$, qui est solution de l'équation différentielle $y'+1,5y=-52,5$
  1. Résoudre l'équation différentielle $y'+1,5y=-52,5$.
    1. Justifier que $g(0) = 5$.
    2. Vérifier que la fonction $g$ est définie par $g(t) = 40e^{-1,5t}-35$.
  3. Ce nouveau tunnel permet-il une congélation plus rapide ?

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