Exercice Bac STI2D & STL - juin 2014

Exponentielle et équation différentielle du 1er ordre


Dans cet exercice, la température est exprimée en degrés Celsius ($^\circ\text{C}$) et le temps $t$ est exprimé en heures.
Une entreprise congèle des ailerons de poulet dans un tunnel de congélation avant de les conditionner en sachets. À l'instant $t=0$, les ailerons, à une température de $5^\circ\text{C}$, sont placés dans le tunnel. Pour pouvoir respecter la chaîne du froid, le cahier des charges impose que les ailerons aient une température inférieure ou égale à $-24^\circ\text{C}$.


Partie A


La température des ailerons dans le tunnel de congélation est modélisée en fonction du temps $t$ par la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0,+\infty[$ par $f (t) = 35e^{-1,6t}-30$.
  1. Déterminer la température atteinte par les ailerons au bout de 30 minutes, soit 0,5 h.
  2. Étudier le sens de variation de la fonction $f$.
  3. Si les ailerons de poulet sont laissés une heure et demie dans le tunnel de congélation, la température des ailerons sera-t-elle conforme au cahier des charges ?
  4. Résoudre par le calcul l'équation $f(t)=-24$ et interpréter le résultat trouvé.



Partie B
Pour moderniser son matériel, l'entreprise a investi dans un nouveau tunnel de congélation.
La température des ailerons dans ce nouveau tunnel est modélisée, en fonction du temps, par une fonction $g$ définie et dérivable sur l'intervalle $[0,+\infty[$, qui est solution de l'équation différentielle $y'+1,5y=-52,5$
  1. Résoudre l'équation différentielle $y'+1,5y=-52,5$.
    1. Justifier que $g(0) = 5$.
    2. Vérifier que la fonction $g$ est définie par $g(t) = 40e^{-1,5t}-35$.
  2. Ce nouveau tunnel permet-il une congélation plus rapide ?

Solution:


Partie A
  1. La température atteinte au bout de 30 minutes est $f(0,5)=35e^{-1,6\tm0,5}-30\simeq-14,27$.
  2. On a $f=35e^u-30$, avec $u(t)=-1,6t$ donc $u'(t)=-1,6$,
    et alors $f'=35u'e^u-0=35(-1,6)e^{-1,6t}=-56e^{-1,6t}$.
    Comme, pour tout réel $x$, $e^x>0$, on a $f'(t)<0$ pour tout $t$, et donc $f$ est décroissante sur l'intervalle $[0;+\infty[$.
  3. Après une heure et demie dans le tunnel de congélation, la température des ailerons sera de $f(1,5)=35e^{-1,6\tm1,5}-30\simeq -26,82<-24$ et sera donc conforme au cahier des charges.

  4. \[\begin{array}{lll}
  f(t)=-24&\iff 35e^{-1,6t}-30=-24
  &\iff e^{-1,6t}=\dfrac{-24+30}{35}=\dfrac{6}{35}\\[1em]
  &\iff -1,6t=\ln\lp\dfrac{6}{35}\right)
  &\iff t=-\dfrac{1}{1,6}\ln\lp\dfrac{6}{35}\rp\simeq 1,10
  \enar\]

    Il faut donc environ 1,10 heure, soit environ une heure et 6 minutes pour que la température des ailerons soit conforme au cahier des charges.



Partie B
Pour moderniser son matériel, l'entreprise a investi dans un nouveau tunnel de congélation.
La température des ailerons dans ce nouveau tunnel est modélisée, en fonction du temps, par une fonction $g$ définie et dérivable sur l'intervalle $[0,+\infty[$, qui est solution de l'équation différentielle $y'+1,5y=-52,5$
  1. L'équation différentielle sans second membre $y'+1,5y=0$ a pour solution générale $y_g(t)=Ae^{-1,5t}$, pour tout réel $A$.
    Une solution particulière de l'équation différentielle $y'+1,5y=-52,5$ est $y_p(t)=\dfrac{-52,5}{1,5}=-35$.
    Ainsi, les solutions de $y'+1,5y=-52,5$ sont $y(t)=y_g(t)+y_p(t)=Ae^{-1,5t}-35$, $A\in\R$.
    1. $g(t)$ est la température des ailerons dans le tunnel de congélation au bout d'un temps $t$. À l'entrée du tunnel, soit à $t=0$, la température est de $5^\circ\text{C}$, en d'autres termes $g(0)=5$.
    2. $g$ est une solution de l'équation différentielle précédente, donc $g(t)=Ae^{-1,5t}+35$; de plus, $g(0)=5\iff Ae^{0}-35=A-35=5\iff A=40$.
      Ainsi, on a bien $g(t) = 40e^{-1,5t}-35$.
  2. De même qu'à la question 4. de la partie A, on a $g(t)=-24\iff t
  =-\dfrac{1}{1,5}\ln\lp\dfrac{11}{40}\rp\simeq0,86$
    La congélation s'effectue maintenant en environ 0,86 heure, soit environ 51 minutes, et est donc plus rapide.


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