Exercice Bac STI2D & STL - juin 2015

Exponentielle et équation différentielle du 1er ordre



Dans cet exercice, les résultats seront arrondis à $10^{-2}$ près.


Une fibre optique est un fil très fin, en verre ou en plastique, qui a la propriété d'être un conducteur de la lumière et sert dans la transmission d'un signal véhiculant des données.
La puissance du signal, exprimée en milliwatts (mW), s'atténue au cours de la propagation.
On note $P_E$ et $P_S$ les puissances respectives du signal à l'entrée et à la sortie d'une fibre.
Pour une fibre de longueur $L$ exprimée en kilomètres (km), la relation liant $P_E$, $P_S$ et $L$ est donnée par:
\[P_S = P_E \times e^{-aL}\]

$a$ est le coefficient d'atténuation linéaire dépendant de la fibre. Une entreprise utilise deux types de fibre optique de coefficients d'atténuation différents. Dans tout l'exercice:




Partie A
Le premier type de fibre de longueur $100$ km utilisé par l'entreprise a un coefficient d'atténuation linéaire $a = 0,046$.
Pour ce type de fibre, sera-t-il nécessaire de placer au moins un amplificateur sur la ligne pour que le signal soit détectable en sortie ?



Partie B
La puissance du signal le long du second type de fibre est modélisée par une fonction $g$ de la variable $x$, où $x$ étant la distance en kilomètres parcourue par le signal depuis l'entrée de la fibre. On admet que cette fonction $g$ est définie et dérivable sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ et qu'elle est solution sur cet intervalle de l'équation différentielle
\[y' + 0,035 y = 0.\]




  1. Résoudre l'équation différentielle $y' + 0,035 y = 0$.
    1. Sachant que $g(0) = 7$, vérifier que la fonction $g$ est définie sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par $g(x) = 7e^{-0,035x}$.
    2. En déduire le coefficient d'atténuation de cette fibre.
    1. Étudier le sens de variation de la fonction $g$.
    2. Déterminer la limite de la fonction $g$ en $+ \infty$.
    1. Le signal sera-t-il encore détecté au bout de $100$ km de propagation ?
    2. Déterminer la longueur maximale de la fibre permettant une détection du signal à la sortie sans amplification.

Solution:


Partie A Pour $L=100m$, la puissance de sortie est $P_S = P_E \times e^{-aL}\simeq 0,070<0,08$: il est donc nécessaire d'amplifier le signal.
Partie B
  1. L'équation différentielle du premier ordre et sans second membre $y' + 0,035 y = 0$ a pour solution les fonctions définies par $y(x)=Ae^{-0,035x}$, avec $A\in\R$.
    1. D'après ce qui précède, avec $A=7$, $g$ est une solution de l'équation différentielle. Comme de plus $g(0)=7e^0=7$, $g$ est bien la solution recherchée.
    2. Le coefficient d'atténuation de cette fibre est donc $a=0,035$.
    1. $g$ est sous la forme $g=7e^u$, avec $u(x)=-0,035x$ donc $u'(x)=-0,035$. Ainsi $g'=7u'e^u$, soit $g'(x)=7\tm(-0,035)e^{-0,035x}=-0,245e^{-0,035x}$.
      Comme, pour tout réel $x$, $e^{-0,035x}>0$, on a $g'(x)<0$, et la fonction $g$ est strictement décroissante sur $[0;\infty[$.
    2. $\dsp\lim_{x\to+\infty}-0,035x=-\infty$, et $\dsp\lim_{x\to-\infty}e^x=0$ donc, par composition des limites, $\dsp\lim_{x\to+\infty}g(x)=0$.
    1. $g(100)=7e^{-0,035\tm100}\simeq0,2>0,08$ ce qui montre que le signal sera encore détectable au bout de 100 km.
    2. Le signal est détectable tant que $g(x)=7e^{-0,035x}>0,08$, soit
      \[e^{-0,035x}>\dfrac{0,08}{7}
    \iff -0,035x >\ln\lp\dfrac{0,08}{7}\right)
    \iff x<\dfrac{1}{-0,035}\ln\lp\dfrac{0,08}{7}\right)
    \simeq 127,76\]


      La longueur maximale est donc d'environ 127,76 km.


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