Exercice Bac STI2D & STL - juin 2017

Exponentielle et équation différentielle du 1er ordre


La fonte GS (graphite sphéroïdal) possède des caractèristiques mécaniques élevées et proche de celles des aciers. Une entreprise fabrique des pièces de fonte GS qui sont utilisées dans l'industrie automobile.
Ces pièces sont coulées dans des moules de sable et ont une température de $1400^\circ C$ à la sortie du four. Elles sont entreposées dans un Local dont la température ambiante est maintenue à une température de $30^\circ C$. Ces pièces peuvent être démoulées dès lors que leur température est inférieure à $650^\circ C$.
La température en degrés Celsius d'une pièce de fonte est une fonction du temps $t$, exprimé en heures, depuis sa sortie du four. On admet que cette fonction $f$, définie et dérivable sur l'intervalle $[0;+\infty[$, est une solution sur cet intervalle de l'équation différentielle:
\[y'+0,065y = 1,95.\]


    1. Résoudre sur $[0;+\infty[$ l'équation différentielle $y'+0,065y = 1,95.$
    2. Donner $f(0)$ et vérifier que la fonction $f$ est définie sur l'intervalle $[0;+\infty[$ par $f(t) = 1370e^{-0,065t}+30$.
    1. Étudier mathématiquement le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0;+\infty[$.
    2. Pourquoi ce résultat était-il prévisible ?
  1. La pièce de fonte peut-elle être démoulée après avoir été entreposée $5$ heures dans le local ?
    1. Déterminer au bout de combien de temps au minimum la pièce pourra être démoulée. Arrondir le résultat à la minute près.
    2. Pour éviter la fragilisation de la fonte, il est préférable de ne pas démouler la pièce avant que sa température ait atteint $325^\circ C$.
      Dans ce cas faudra-t-il attendre exactement deux fois plus de temps que pour un démoulage à $650^\circ C$ ? Justifier la réponse.

Solution:


    1. Les solutions $f$ de l'équation différentielle $y'+0,065y = 1,95$ sont $f(t)=ke^{-0,065t}+\dfrac{1,95}{0,065}=ke^{-0,065t}+30$, pour toute constante réelle $k$.
    2. $f(0)$ est la température initiale des pièces de fonte, soit $f(0)=1400$.
      On a donc, $f(0)=ke^{-0,065\tm0}+30=k+30=1400$, et donc $k=1370$.
      Finalement, on a bien par $f(t) = 1370e^{-0,065t}+30$.
    1. On a $f=ke^u+30$ avec $k=1370$ et $u(t)=-0,065$ donc $u'(t)=-0,065$ et alors $f'=ku'e^u+0$, soit $f'(t)=1370\tm(-0,065)e^{-0,065t}=-89,05e^{-0,065t}$.
      Comme pour tout réel $t$, $e^{-0,065t}>0$, on a $f'(t)<0$, et donc $f$ est strictement décroissante sur $[0;+\infty[$.
    2. Ce résultat était prévisible: la température des pièces de fonte diminue de leur température initiale de $f(0)=1400^\circ C$ à la température de la pièce $30^\circ C$ $\lp=\dsp\lim_{t\to+\infty}f(t)\rp$.
  1. Après avoir été entreposée $5$ heures dans le local, la température de la pièce est $f(5)=1370e^{-0,065\tm5}+30\simeq 1020>650$: la pièce de fonte ne peut pa encore être démoulée.
    1. On a $f(t)<650\iff1370e^{-0,065\times t}+30<650\iff 
    t>\dfrac{1}{-0,065}\ln\lp\dfrac{620}{1370}\rp\simeq12,198$.
      Ainsi, au bout de 12 heures et 12 minutes au minimum la pièce pourra être démoulée.
    2. Il n'y a pas proportionnalité, c'est une exponentielle !
      Plus précisement (mais inutile pour répondre strictement à la question), il faudra attendre un temps $t$ tel que $f(t)<325\iff1370e^{-0,065\times t}+30
    \iff t>\dfrac{1}{-0,065}\ln\lp\dfrac{305}{1370}\rp\simeq23,112$, soit 23 heures et 6 minutes.


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