Exercice Bac STI2D & STL - juin 2016

Logarithme et décibels


Quand l'oreille humaine est soumise à une intensité acoustique, exprimée en watts par mètre carré (W/m$^2$), le niveau sonore du bruit responsable de cette intensité acoustique est exprimé en décibels (dB).
Document
Échelle de bruit



$${|*{4}{c|}}\hline 
\raisebox{.6cm}[1.8cm]{Sources sonores}
&\raisebox{.6cm}[1.8cm]{Intensit\'e acoustique (W/m$^2$)}
& \raisebox{.6cm}[1.8cm]{\begin{minipage}{2.5cm}Niveau sonore (dB) arrondi \'eventuellement \`a l'unit\'e\end{minipage}}
&\raisebox{.6cm}[1.8cm]{Sensation auditive}
\\\hline 
D\'ecollage de la Fus\'ee Ariane&$10^ 6$ &180 &\multirow{3}{2.5cm}{Exige une protection sp\'eciale} \\\cline{1-3} 
Turbor\'eacteur &$10^2$ &140 & \\\cline{1-3} 
Course de Formule 1 &10 &130 & \\\hline 
Avion au d\'ecollage &1 &120 &Seuil de douleur \\\hline 
Concert et discoth\`eque &$10^{-1}$ &110 
&\multirow{3}{3.4cm}{Tr\`es difficilement supportable}
\\\cline{1-3} 
\raisebox{.4cm}[.3cm]{\begin{minipage}{4cm}Baladeur \`a puissance maximum\end{minipage}}
& \raisebox{.3cm}[1.1cm]{$10^{-2}$} &100 & \\\hline 
Moto &$10^{-5}$ &70 &P\'enible \`a entendre  \\\hline 
Voiture au ralenti&$10^{-7}$ & 50 &Bruit courant\\ \hline 
Seuil d'audibilit\'e &$10^{-12}$ &0,08 &Silence anormal \\\hline 
$$


  1. D'après le tableau, lorsque l'intensité acoustique est multipliée par 10, quelle semble être l'augmentation du niveau sonore ?
  2. La relation liant l'intensité acoustique $x$$x$ appartient à l'intervalle $\lb10^ {-12} ; 10^6\rb$ et le niveau sonore est donnée par :
    \[f(x) =\dfrac{10}{\ln 10}\tm\ln(x) + 120.\]

    On pourra prendre $\dfrac{10}{\ln 10} \approx 4,34$.
    1. Vérifier la conjecture émise à la question 1.
    2. Quel serait le niveau sonore de deux motos ?
  3. Pour éviter tout risque sur la santé, le port d'un casque de protection acoustique est donc conseillé au delà de $85$ dB. Déterminer l'intensité acoustique à partir de laquelle le port d'un tel casque est conseillé.

Solution:


  1. D'après le tableau, lorsque l'intensité acoustique est multipliée par 10, le niveau sonore semble augmenter de 10 dB.
    1. Si une intensité sonore $x$ est multipliée par $10$, alors le niveau sonore est
      \[\begin{array}{ll}
    f(10x)&=\dfrac{10}{\ln10}\ln(10x)+120\\[.8em]
    &=\dfrac{10}{\ln10}\lp\ln(10)+\ln(x)\rp+120\\[.8em]
    &=\underbrace{\dfrac{10}{\ln10}\ln(10)}+
    \underbrace{\dfrac{10}{\ln10}\ln(x)+120}\\[.8em]
    &=\qquad10\qquad+\qquad f(x)
    \enar\]

      Ainsi, le niveau sonore est bien augmenté de 10.
    2. L'intensité acoustique pour une moto est $x=10^{-5}$, donc pour deux motos de $2x=2\tm10^{-5}$.
      Le niveau sonore correspondant est alors $f\lp2\tm10^{-5}\rp=\dfrac{10}{\ln 10}\tm\ln\lp2\tm10^{-5}\rp + 120
    \simeq73\text{ dB}$
  2. L'intensité acoustique à partir de laquelle un tel casque est conseillé est telle que $f(x)=85$, soit
    \[\begin{array}{ll}
  \dfrac{10}{\ln 10}\tm\ln(x) + 120=85
  &\iff \ln(x)=\dfrac{(85-120)\tm\ln10}{10}\\[.8em]
  &\iff x=e^{-3,5\tm\ln10}\simeq 3\tm10^{-4}\text{ W/m}^2
  \enar\]



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