Exercice Bac STI2D & STL - juin 2017

Intervalle de fluctuation, lois binomiale et normale


Un chef cuisinier décide d'ajouter un "menu terroir" à la carte de son restaurent. S'appuyant sur sa longue expérience, le restaurateur pense qu'environ 30% des clients choisiront ce menu. Ceci le conduit à faire l'hypothèse que la probabilité qu'un client, pris au hasard commande le "menu terroir" est de $p = 0,3$.

Partie A.
Afin de tester la validité de son hypothèse, le restaurateur choisit au hasard 100 clients et observe que 26 d'entre eux ont commandé un "menu terroir".
Après discussion avec son comptable, le restaurateur décide d'accepter l'hypothèse que $p=0,3$.
À l'aide d'un intervalle de fluctuation à 95%, justifier cette décision.

Partie B.
Une agence de voyage a réserver toutes les tables du restaurant pour la semaine à venir. Le restaurateur sait ainsi que 1000 clients viendront déjeuner chacun une fois durant la semaine.
Le nombre de "menu terroir" qui seront alors commandé est une variable aléatoire $X$.
On considère que la probabilité qu'un des clients commande un "menu terroir" est $p = 0,3$.
  1. On admet que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale.
    1. Donner ses paramètres.
    2. Déterminer la probabilité que le nombre de "menus terroir" commandés soit inférieur ou égal à 315.
  2. On décide d'approcher la loi binomiale précédente par la loi normale d'espérance $\mu=300$ et d'écart-type $\sigma=14,49$.
    Justifier les valeurs de $\mu$ et $\sigma$.
    Dans la suite de l'exercice, on utilisera cette approximation par la loi normale. Les résultats seront arrondis à $10^{-2}$ près.
    1. Estimer $P(285 \leq X \leq 315)$.
    2. Estimer $P(X \geq 350)$ et interpréter le résultat obtenu.

Solution:



Partie A. L'intervalle de fluctuation à 95% est $I=\Bigl[ 0,3-1,96\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}\,;\,
    0,3+1,96\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}\Bigr]
\simeq \Bigl[0,210\,;\,0,390\Bigr].$ Ici, la proportion observée est $p'=\dfrac{26}{100}\in I$, ce qui justifie donc la décision d'accepter l'hypothèse faite, soit $p=0,3$.

Partie B.
    1. $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=1000$ et $p=0,3$.
    2. À l'aide de la calculatrice, on trouve que la probabilité que le nombre de "menus terroir" commandés soit inférieur ou égal à 315 est $P\left( X\leqslant 315\rp\simeq 0,857\simeq 86\%$..
  1. Les espérances et écart-types des deux lois doivent être identiques, soit $\mu=E(X)=np=1000\tm0,3=300$ et $\sigma=\sigma(X)=\sqrt{np(1-p)}=\sqrt{1000\tm0,7\tm0,3}\simeq 1,49$.
  2. À l'ide de la calculatrice, on trouve:
    1. $P(285 \leq X \leq 315)\simeq 0,70$.
    2. $P(X \geq 350)\simeq 2.10^{-4}\simeq 0$, à $10^{-2}$ près: la probabilité que plus de 350 "menu terroir" soit commandés sur 1000 personnes est quasiment nulle; le chef ne doit donc pas en préparer autant.


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