Exercice Bac STI2D & STL - juin 2014

Probabilit├ęs: loi normale et intervalle de confiance


Une chocolaterie industrielle fabrique des tablettes de chocolat de 200 grammes. Une machine qui fabrique les tablettes est préréglée afin de respecter cette masse de 200 grammes.
Lors de la fabrication, toutes les tablettes de chocolat sont pesées et celles dont la masse est inférieure à 195 grammes sont rejetées. L'entreprise ne les commercialisera pas sous cette forme.

  1. On désigne par $X$ la variable aléatoire qui, à une tablette de chocolat prélevée au hasard dans la production, associe sa masse en grammes. On admet que $X$ suit la loi normale d'espérance 200 et d'écart type 2,86.
    Les résultats seront arrondis à $10^{-4}$.
    1. Déterminer la probabilité de l'évènement « $195 \leqslant X \leqslant 205$ ».
    2. Déterminer la probabilité qu'une tablette de chocolat prise au hasard dans la production ne soit pas rejetée après pesée.

  2. Une étude statistique a établi que, si la machine est bien réglée, la proportion de tablettes de chocolat rejetées est de $4\%$.
    Afin de vérifier le réglage de la machine, le responsable qualité prélève de manière aléatoire un échantillon de 150 tablettes et observe que 10 tablettes sont rejetées.
    Cette observation remet-elle en cause le réglage de la machine ? (On pourra utiliser un intervalle de fluctuation.)

Solution:


    1. La probabilité est, à l'aide de la calculatrice, $P(195 \leqslant X \leqslant 205)\simeq 0,9196$.
    2. La probabilité qu'une tablette de chocolat ne soit pas rejetée après pesée est, à l'aide de la calculatrice, $P(X\geqslant195)\simeq 0,9598$.

  1. L'intervalle de fluctuation d'une proportion $p=4\%$ dans un échantillon de $n=150$ tablettes est
    \[
  I=\left[\, p-1,96\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}\ ;\ 
    p+1,96\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}\,\right]
  \simeq \Bigl[\, 0,0086\ ;\ 0,0714\,\Bigr]\]

    Ici, le responsable qualité observe une proportion $p'=\dfrac{10}{150}\simeq 0,0667$; comme $p'\in I$, le réglage de la machine ne peut être remis en cause.


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