Exercice Bac STI2D & STL - juin 2015

Probabilités: loi normale et intervalle de fluctuation


Dans l'ensemble de l'exercice, les résultats seront arrondis à $10^{-4}$ près.


L'usine OCEFRAIS embouteille des jus de fruits. L'étiquette de la bouteille indique 1,5 litre de jus de fruits. Le volume de la bouteille est de 1, 55 litre.
À l'embouteillage, le volume de jus de fruits versé dans une bouteille est une variable aléatoire $X$ qui suit la loi normale de moyenne $\mu=1,5$ et d'écart-type $\sigma=0,015$.


    1. L'une des trois figures donne la courbe représentative $C_f$ de la densité $f$ de cette loi normale. Indiquer sur la copie le numéro de la figure correspondante en expliquant votre choix.
      \[\psset{xunit=5cm,yunit=0.1cm,arrowsize=3pt 3,algebraic=true,comma=true}
\def\xmin{-0}   \def\xmax {2.3}
\def\ymin{-8} \def\ymax {31}
\begin{pspicture}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psaxes[labels=none,ticks=none](0,0)(\xmin,-0.1)(\xmax,\ymax)
\multido{\n=0.2+0.2}{11}
{\psline[linestyle=dotted](\n,0)(\n,\ymax)
\uput[d](\n,0){\small \n}}
\multido{\n=10+10}{3}
{\psline[linestyle=dotted](0,\n)(\xmax,\n)
\uput[l](0,\n){\small \n}}
\def\m{0.5}\def\s{0.015}% esp\'erance et \'ecart type
\def\f{1/(\s*sqrt(2*PI))*EXP((-((x-\m)/\s)^2)/2)}%   fonction densit\'e
\psplot[plotpoints=5000]{\xmin}{\xmax}{\f}% trac\'e de la fonction densit\'e
\rput(1.15,-8){Figure 1}
\end{pspicture}
\]






      \[\psset{xunit=5cm, yunit=0.1cm, arrowsize=3pt 3, algebraic=true,comma=true}
\def\xmin {-0}   \def\xmax {2.3}
\def\ymin {-8} \def\ymax {31}
\begin{pspicture}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psaxes[labels=none,ticks=none](0,0)(\xmin,-0.1)(\xmax,\ymax)
\multido{\n=0.2+0.2}{11}
{\psline[linestyle=dotted](\n,0)(\n,\ymax)
\uput[d](\n,0){\small \n}}
\multido{\n=10+10}{3}
{\psline[linestyle=dotted](0,\n)(\xmax,\n)
\uput[l](0,\n){\small \n}}
\def\m{1}\def\s{0.015}% esp\'erance et \'ecart type
\def\f{1/(\s*sqrt(2*PI))*EXP((-((x-\m)/\s)^2)/2)}% fonction densit\'e
\psplot[plotpoints=5000]{\xmin}{\xmax}{\f}% trac\'e de la fonction densit\'e
\rput(1.15,-8){Figure 2}
\end{pspicture}\]



      \[\psset{xunit=5cm, yunit=0.1cm, arrowsize=3pt 3, algebraic=true,comma=true}
\def\xmin {-0}   \def\xmax {2.3}
\def\ymin {-8} \def\ymax {31}
\begin{pspicture}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)%zone de trac\'e
\psaxes[labels=none,ticks=none](0,0)(\xmin,-0.1)(\xmax,\ymax)%  axes
% pas de labels, pas de graduation sur les axes
\multido{\n=0.2+0.2}{11}
{\psline[linestyle=dotted](\n,0)(\n,\ymax)
\uput[d](\n,0){\small \n}}
\multido{\n=10+10}{3}
{\psline[linestyle=dotted](0,\n)(\xmax,\n)
\uput[l](0,\n){\small \n}}
\def\m{1.5}\def\s{0.015}% esp\'erance et \'ecart type
\def\f{1/(\s*sqrt(2*PI))*EXP((-((x-\m)/\s)^2)/2)}% fonction densit\'e
\psplot[plotpoints=10000]{\xmin}{\xmax}{\f}% trac\'e de la fonction densit\'e
\rput(1.15,-8){Figure 3}
\end{pspicture}\]


    2. Déterminer $P(1,485 \leqslant X \leqslant 1,515)$.
  1. On choisit au hasard une bouteille de jus de fruits.
    1. Quelle est la probabilité que cette bouteille contienne exactement 1,48 litre de jus de fruits ?
    2. Calculer la probabilité que cette bouteille contienne entre 1,46 litre et 1,54 litre de jus de fruits.
    3. Quelle est la probabilité que cette bouteille déborde sur la chaîne d'embouteillage? On rappelle que toutes les bouteilles utilisées ont un volume de $1,55$ litre.
  2. Une bouteille est dite conforme si elle contient entre $1,46$ litre et $1,54$ litre de jus de fruits. Selon l'usine OCEFRAIS, la probabilité qu'une bouteille soit non conforme est 0,0077. Un supermarché achète un lot de 10000 bouteilles.
    1. Déterminer l'intervalle de fluctuation asymptotique à 95 % de la fréquence observée de bouteilles non conformes dans un tel lot.
    2. Dans le lot de 10 000 bouteilles, on a compté 90 bouteilles non conformes. Le gérant du supermarché trouve le nombre de bouteilles non conformes anormalement élevé. L'usine OCEFRAIS a-t-elle des raisons de s'inquiéter?

Solution:


    1. La figure 3 donne la courbe représentative $C_f$ de la densité $f$ de cette loi normale, car elle est centrée (axe de symétrie) sur la moyenne $\mu=1,5$.
    2. Avec la calculatrice $P(1,485 \leqslant X \leqslant 1,515)\simeq 0,6826$. (remarque: il s'agit de la probabilité $P(\mu-\sigma\leqslant X\leqslant \mu+\sigma)$)
    1. La probabilité que cette bouteille contienne exactement 1,48 litre de jus de fruits est nulle: $P(X=1,48)=0$.
    2. La probabilité que cette bouteille contienne entre 1,46 litre et 1,54 litre de jus de fruits est $P(1,46\leqslant X\leqslant >1,54)\simeq 0,9924$.
    3. La probabilité que cette bouteille déborde sur la chaîne d'embouteillage est $P(X> 1,55)=1-P(X\leqslant 1,55)\simeq0,0004$.
    1. L'intervalle de fluctuation asymptotique à 95 % de la fréquence observée de bouteilles non conformes dans un tel lot est, avec $p=0,0077$,
      \[I=\Bigl[\, p-\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}\ ; \
      p-\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}} \, \Bigr]
    \simeq\Bigl[ 0,0060\,;\,0,0094 \Bigr]\]

    2. Dans le lot de 10 000 bouteilles, il y a 90 bouteilles non conformes, soit $p=\dfrac{90}{10\,000}=0,009$.
      Cette proportion appartient à l'intervalle de fluctuation; ce taux élevé ne l'est donc pas anormalement, mais s'explique par la fluctuation d'échantillonnage.


Autres ressources