Exercice Bac STI2D & STL - juin 2016

Lois uniforme et exponentielle


Les parties A et B sont indépendantes.
Un pont levant enjambant un canal peu fréquenté est constitué d'un tablier qui, une fois relevé, permet le passage de bateaux de différentes tailles.

\[
\parbox{0.45\linewidth}{
\psset{unit=0.6cm}
\begin{pspicture}(10,7)
%\psgrid
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](1.6,4.3)(8.4,4.6)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0,1.3)(1.8,1.6)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](8.2,1.3)(9.9,1.6)
\pspolygon*(1.6,0)(2.4,0)(2.4,0.4)(2.2,0.4)(2.2,5)(1.8,5)(1.8,0.4)(1.6,0.4)
\pspolygon*(7.6,0)(8.4,0)(8.4,0.4)(8.2,0.4)(8.2,5)(7.8,5)(7.8,0.4)(7.6,0.4)
\psline(1.6,4.6)(1.8,5)(2.2,5.8)(2.2,5)\psline(2.2,5.8)(2.5,5.8)(2.5,4.6)
\psline(8.4,4.6)(8.2,5)(7.8,5.8)(7.8,5)\psline(7.8,5.8)(7.5,5.8)(7.5,4.6)
\psline(2,0)(8,0)
\rput(4.9,6.8){Position haute}
\rput(4.9,5){tablier du pont}
\rput(4.9,0.4){chenal maritime}
\rput(0.8,1.9){route}\rput(9.2,1.9){route}
\end{pspicture}} \hfill\parbox{0.45\linewidth}{
\psset{unit=0.6cm}
\begin{pspicture}(10,7)
%\psgrid
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0.6,1.3)(9.9,1.6)
%\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0,1.3)(1.8,1.6)
%\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](8.2,1.3)(9.9,1.6)
\pspolygon*(1.6,0)(2.4,0)(2.4,0.4)(2.2,0.4)(2.2,5)(1.8,5)(1.8,0.4)(1.6,0.4)
\pspolygon*(7.6,0)(8.4,0)(8.4,0.4)(8.2,0.4)(8.2,5)(7.8,5)(7.8,0.4)(7.6,0.4)
\psline(1.6,4.6)(1.8,5)(2.2,5.8)(2.2,5)\psline(2.2,5.8)(2.5,5.8)(2.5,1.6)
\psline(8.4,4.6)(8.2,5)(7.8,5.8)(7.8,5)\psline(7.8,5.8)(7.5,5.8)(7.5,1.6)
\psline(2,0)(8,0)
\rput(4.9,6.8){Position basse}
\rput(4.9,1.9){tablier du pont}
\rput(4.9,0.4){chenal maritime}
\rput(0.8,1.9){route}\rput(9.2,1.9){route}
\end{pspicture}
}
%\includegraphics[scale=0.1]{pont.png} 
\]


\[\begin{array}{|l |}\hline 
\text{Hauteur du tablier en position haute : 7 m\`etres}\\
\text{Longueur du tablier : 30 m\`etres}\\
\text{Temps de mont\'ee du tablier : 2 minutes}\\
\text{Temps en position haute du tablier (hors incident) : 8 minutes}\\
\text{Temps de descente du tablier : 2 minutes}\\
\hline 
\end{array}\]


Partie A - Sur la route


Un automobiliste se présente devant le pont. Le tablier du pont est en position haute. On s'intéresse ici au temps d'attente $D$, exprimé en minutes, de l'automobiliste avant qu'il puisse franchir le canal, pont baissé (hors incident).
  1. Combien de temps l'automobiliste attend-il au minimum ? au maximum?
  2. On admet que le temps d'attente, en minutes, de l'automobiliste pour franchir le pont est une variable aléatoire $D$ qui suit la loi uniforme sur l'intervalle [2 ; 10].
    Déterminer l'espérance $E(D)$ de la variable aléatoire $D$ et interpréter le résultat dans le contexte.
  3. Calculer la probabilité que le temps d'attente de l'automobiliste ne dépasse pas 5 minutes.




Partie B - Sur l'eau


Dans cette partie les résultats demandés seront arrondis à $10^{-2}$ près.


Lorsqu'un bateau est passé, le tablier du pont revient en position basse. Le temps, exprimé en heures, avant que le bateau suivant se présente devant le pont est une variable aléatoire $T$ qui suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda = 0,05$. Ce temps est appelé temps de latence.
  1. Déterminer l'espérance $E(T)$ de la variable aléatoire $T$ et interpréter le résultat dans le contexte.
  2. On considère la fonction $f$ définie sur $[0~;~+\infty[$ par

    \[f(x)=0,05e^{-0,05 x}.\]


    1. Montrer que la fonction $F$ définie sur $[0~;~+\infty[$ par $F(x)=-e^{-0,05 x}$ est une primitive de $f$.
    2. On rappelle que pour tout nombre réel $t$ de $[0~;~+\infty[$, $P(T \leqslant t) = \dsp\int_0 ^t f(x)\; dx$.
      Démontrer que $P(T\leqslant t)=1-e^{-0,05 t}$.
    1. Calculer la probabilité que le temps de latence soit inférieur à une demi-journée, soit 12 heures.
    2. Calculer la probabilité que le temps de latence soit supérieur à un jour.
    3. Calculer $P(12\leqslant T\leqslant 24)$.

Solution:


Partie A - Sur la route
  1. Au minimum, l'automobiliste attend les 2 minutes de descente du pont; au maximum, il attend ces 2 minutes plus les 8 minutes de position haute, soit 10 minutes.
  2. L'espérance est $E(D)=\dfrac{2+10}{2}=6$:
    En moyenne, les automobilistes attendent 6 minutes.
  3. La probabilité l'automobiliste attende moins de 5 minutes est $P\left( D\leqslant 5\rp=\dfrac{5-2}{10-2}=\dfrac38=0,375$.




Partie B - Sur l'eau
  1. $E(T)=\dfrac1\lambda=\dfrac{1}{0,05}=20$: en moyenne un bateau se présente toutes les 20 heures.
    1. On $F=-e^u$, avec $u(x)=-0,05x$ et donc $u'(x)=-0,05$, et alors $F'=-u'e^u$, soit $F'(x)=-(-0,05)e^{-0,05x}=0,05e^{-0,05x}=f(x)$. Ainsi $F$ est bien une primitive de $f$.
    2. $\displaystyle P(T\leqslant t)= \int_0 ^t f(x)\,dx
    =\Bigl[\,F(x)\,\Bigr]_0^t
    =F(t)-F(0)=-e^{-0,05t}-(-e^0)=1-e^{-0,05 t}$.
    1. D'après la question précédente, la probabilité que le temps de latence soit inférieur à une demi-journée est donc $P(T\leqslant12)=1-e^{-0,05\tm12}\simeq 0,45$
    2. Le temps de latence est supérieur à un jour avec une probabilité
      \[P(T>24)=1-P(T\leqslant24)=1-\lp1-e^{-0,05\tm24}\right)
    =e^{-1,2}\simeq 0,30\]

    3. En utilisant les deux derniers résultats on obtient
      \[P(12\leqslant T \leqslant 24)=1-P(T<12)-P(T>24)\simeq 0,25\]



Autres ressources