Exercice Bac STI2D & STL - juin 2014

Suite géométrique et algorithme


Au cours de son évolution, une tornade se déplace dans un corridor de quelques centaines de mètres de large sur quelques kilomètres de long.

Document 1:
L'échelle de Fujita est une échelle servant à classer les tornades par ordre de gravité, en fonction des dégâts qu'elles occasionnent. Une partie de cette échelle est présentée dans le tableau ci-dessous.



\[\begin{tabular}{|c|c|p{8cm}|}\hline
\rule[-.6cm]{0cm}{1.4cm}
\textbf{Cat\'egorie} & 
\begin{minipage}{4.2cm}\textbf{Vitesse des vents en $\text{km}.\text{h}^{-1}$}\end{minipage}
 & \multicolumn{1}{c|}{\textbf{D\'eg\^ats occasionn\'es}} \\\hline\hline 
F0 & 60 \`a 120 & 
\textbf{D\'eg\^ats l\'egers :} 
d\'eg\^ats sur chemin\'ees, arbres, fen\^etres,\ldots
\\ \hline  
F1 & 120 \`a 180 & 
\textbf{D\'eg\^ats mod\'er\'es :} 
automobiles renvers\'ees, arbres d\'eracin\'es,\ldots 
\\ \hline 
F2 & 180 \`a 250 & 
\textbf{D\'eg\^ats importants :} 
toits arrach\'es, hangars et d\'ependances d\'emolis, \ldots \\ \hline
F3 & 250 \`a 330 & 
\textbf{D\'eg\^ats consid\'erables :} 
murs ext\'erieurs et toits projet\'es, maisons et b\^atiments de m\'etal
effondr\'es, for\^ets abattues, \ldots 
\\ \hline
F4 & 330 \`a 420 & 
\textbf{D\'eg\^ats d\'evastateurs :} 
murs effondr\'es, objets en acier ou en b\'eton projet\'es comme des
missiles, \ldots 
\\ \hline
F5 & 420 \`a 510 & 
\textbf{D\'eg\^ats incroyables :} 
maisons ras\'ees ou projet\'ees sur de grandes distances, murs ext\'erieurs
et toits arrach\'es sur de gros b\^atiments, \ldots 
\\ \hline
\end{tabular}\]




Document 2:


À partir des mesures relevées lors d'observations de phénomènes semblables, des météorologues ont admis la règle suivante : « la vitesse des vents dans les tornades diminue régulièrement de 10 % toutes les 5 minutes » .
On appelle « durée de vie » d'une tornade le temps nécessaire, depuis sa formation, pour que la vitesse des vents devienne inférieure à 120 $\text{km}.\text{h}^{-1}$.



Lors de la formation d'une tornade, on a mesuré la vitesse des vents par un radar météorologique et on a trouvé une vitesse initiale de $420 \text{km}.\text{h}^{-1}$.
L'objectif de ce problème est d'estimer la durée de vie de cette tornade.
Dans cet exercice, les résultats seront arrondis à $ 10 \text{km}.\text{h}^{-1}$.
    1. Cinq minutes après la mesure initiale, la vitesse des vents est de $378 \text{km}.\text{h}^{-1}$.
      Vérifier que ce résultat correspond à la règle admise.
      À quelle catégorie appartient la tornade à ce moment là ?
    2. Vérifier que, quinze minutes après la mesure initiale, cette tornade occasionne des dégâts classés comme « dégâts considérables» .
  1. Pour déterminer la durée de vie de cette tornade, un étudiant propose de modéliser le phénomène par une suite géométrique de raison $q$. Il commence à élaborer l'algorithme ci-dessous.
    Variables
    $n$ : un nombre entier naturel
    $v$ : un nombre réel
    $q$ : un nombre réel
    Initialisation
    Affecter à $n$ la valeur 0
    Affecter à $v$ la valeur 420
    Affecter à $q$ la valeur 0,9
    Traitement
    Tant que …


    Fin Tant que
    Sortie
    Afficher $5 \times n$
    1. Justifier la valeur 0,9 dans la phrase « Affecter à $q$ la valeur 0,9 » .
    2. Donner le premier terme et la raison de la suite géométrique proposée par l'étudiant.
    3. Dans l'algorithme ci-dessus, des pointillés indiquent des parties manquantes.
      Recopier la partie relative au traitement et la compléter pour que l'étudiant puisse déterminer la durée de vie de cette tornade.
    4. Expliquer l'instruction « Afficher $5 \times n$ » proposée par l'étudiant.
  2. On désigne par $\left(v_n\right)$ la suite géométrique proposée par l'étudiant.
    Exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
  3. Déterminer la durée de vie de cette tornade au sens défini dans le document 2.

Solution:


    1. D'après la règle, on devrait avoir une diminution de $10\%$ de la vitesse, soit une vitesse de $420\tm(1-10\%)=420\tm0,9=378 \text{ km.h}^{-1}$. Le résultat correspond donc bien à la règle.
      À ce moment, la tornade appartient à la catégorie F4.
    2. Quinze minutes après la mesure initiale, la vitesse des vents est de $420\tm0,9^3=306,16 \text{ km.h}^{-1}$, et la tornade appartient à la catégorie F3 et occasionne donc des dégâts classés comme « dégâts considérables» .
    1. 0,9 est le coefficient multiplicateur correspondant à une diminution de $10\%$; c'est la raison de la suite.
    2. Le premier terme est $420$ et la raison 0,9.
    3.  

      Tant que $v>120$
           Affecter à $v$ la valeur $0,9v$
           Affecter à $n$ la valeur $n+1$
      Fin Tant que


    4. La variable $n$ correspond au nombre de diminution de $10\%$. Comme les vents diminuent de $10\%$ toutes les 5 minutes, le temps total a affiché est $5\times n$.
  1. $\left(v_n\right)$ est la suite géométrique de premier terme $v_0=420$ et de raison $q=0,9$, et ainsi, pour tout entier $n$, $v_n=v_0\,q^n=420\tm0,9^n$.
  2. On trouve à la calculatrice, ou avec l'algorithme précédent, $n=12$, soit une durée de vie de $12\tm5=60$ min, soit une heure.


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