Exercice Bac STI2D & STL - juin 2015

Suite géométrique et algorithme


Le parc de véhicules particuliers (VP) et de véhicules utilitaires légers (VUL) circulant en France est essentiellement constitué de véhicules thermiques (principalement essence, gasoil et GPL).
Pour lutter contre la pollution, il intègre de plus en plus de véhicules à « faible émission de $\text{CO}_2$ »  c'est-à-dire des véhicules hybrides (véhicules thermiques assistés d'un moteur électrique) et des véhicules électriques.


Document 1



$${|p{4.2cm}*4{|p{2.6cm}}|}\hline
\multicolumn{5}{|p{17.2cm}|}{
Au regard du parc et des ventes de v\'ehicules en 2010, l'ADEME (Agence
de l'Environnement et de la Ma\^itrise de l'Energie) a mobilis\'e ses
services techniques et \'economiques en 2012, afin d'\'elaborer des
visions \'energ\'etiques. Afin de r\'epondre aux enjeux environnementaux, 
l'ADEME pr\'evoit d'atteindre pour le parc 2030 un taux moyen d'\'emission
de CO$_2$ par v\'ehicule de 100~g/km.
\linebreak
\centerline{\textbf{Ventes et pr\'evisions}}
}\\\hline
 \small\textbf{V\'ehicules (VP-VUL)} 
&\small\textbf{Ventes 2010}
&\small\textbf{Parc 2010}
&\small\textbf{Pr\'evisions ventes 2030}
&\textbf{Pr\'evisions parc 2030}\\ \hline 
V\'ehicules thermiques &100\,\% &100\,\% &64\,\% &89\,\%\\ \hline 
V\'ehicules hybrides &0\,\% &0\,\% &24\,\% &7\,\%\\ \hline 
V\'ehicules \'electriques &0\,\% &0\,\% &12\,\% &4\,\%\\ \hline 
\textbf{Total des voitures VP et VUL}
& 2,2 millions
& 35 millions
& 2 millions
& 35 millions\\ \hline 
Emission moyenne de CO$_2$ par v\'ehicule
& 127 g/km 
&165 g/km 
&49 g/km
&100 g/km\\ \hline 
$$





Document 2



$${|p{5.2cm}*3{|c}|}\hline
\multicolumn{4}{|p{17.2cm}|}{
  \textbf{Ventes nationales de v\'ehicules entre 2011 et 2013}}\\\hline
\textbf{V\'ehicules (VP- VUL)}
& \textbf{Ventes 2011}
& \textbf{Ventes 2012}
& \textbf{Ventes 2013}\\ \hline
V\'ehicules hybrides &13600 &27730 &41340\\ \hline
V\'ehicules \'electriques&4313 &9314 &13954\\ \hline
\textbf{Total des ventes y compris v\'ehicules thermiques}&
2\,204\,065 & 1\,898\,872 & 1\,790\,000\\ \hline
$$





Partie A
  1. Selon les prévisions de l'ADEME, quel serait en 2030 le nombre de véhicules hybrides vendus?
  2. Selon les prévisions de l'ADEME, quel serait en 2030 le pourcentage de véhicules à faible émission de $\text{CO}_2$ dans le parc automobile?




Partie B
  1. Le tableau suivant est incomplet. Déterminer le pourcentage d'augmentation des ventes de véhicules hybrides de 2012 à 2013.

    $${|*3{c|}}\hline
V\'ehicules VP et VUL
&\multicolumn{2}{|c|}{ Augmentation des ventes de v\'ehicules}\\\hline
&de 2011 \`a 2012 &de 2012 \`a 2013\\\hline
V\'ehicules hybrides& 103,9\,\% &\ldots\\\hline
V\'ehicules \'electriques &116\,\% &49,8\,\%\\\hline
$$


  2. Après un fort démarrage des ventes de véhicules hybrides, les professionnels de l'automobile envisagent une augmentation de leurs ventes de 16 % par an de 2013 à 2030.
    Le nombre de véhicules hybrides vendus en 2013 est de 41340.
    On décide de modéliser les ventes annuelles de véhicules hybrides par une suite géométrique de raison 1,16.
    On note $u_n$ le nombre de véhicules hybrides vendus durant l'année $2013+n$.
    1. Donner $u_0$.
    2. Exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
    3. L'augmentation de 16 % par an des ventes de véhicules hybrides permettrait-elle d'atteindre la prévision de l'ADEME pour l'année 2030 ?
  3. Les professionnels de l'automobile s'intéressent aussi aux ventes de véhicules électriques de 2013 à 2030. Le nombre de véhicules électriques vendus en 2013 est de 13954.
    1. On réalise sur tableur une feuille de calcul qui détermine le nombre de véhicules électriques vendus de 2013 à 2030 en supposant une augmentation annuelle de 16 % à partir de 2013.

      $${*3{|c}|}\hline
        &A &B\\ \hline
        1&Ann\'ee &Pr\'evisions des ventes de voitures \'electriques\\ \hline
        2& 2013& 13954\\ \hline
        3& 2014&  16186,64\\ \hline
        4& 2015&  18776,5024\\ \hline
        5& 2016&  21780,74278\\ \hline
        6& 2017&  25265,66163\\ \hline
        7& 2018&  29308,16749\\ \hline
        8& 2019&  33997,47429\\ \hline
        9& 2020&  39437,07017\\ \hline
        10& 2021&  45747,0014\\ \hline
        11& 2022&  53066,52163\\ \hline
        12& 2023&  61557,16509\\ \hline
        13& 2024&  71406,3115\\ \hline
        14& 2025&  82831,32134\\ \hline
        15& 2026&  96084,33276\\ \hline
        16& 2027&  111457,826\\ \hline
        17& 2028&  129291,0782\\ \hline
        18& 2029&  149977,6507\\ \hline
        19& 2030&  173974,0748\\ \hline
      $$

      Donner la formule saisie dans la cellule B3 de la feuille de calcul ci-dessus pour compléter le tableau par « recopie vers le bas ».
    2. Ce taux d'augmentation annuel permettrait-il d'atteindre les prévisions de l'ADEME des ventes de véhicules électriques en 2030 ?
  4. Les professionnels de l'automobile cherchent un pourcentage d'augmentation annuelle des ventes de véhicules électriques qui permettrait d'atteindre les prévisions de l'ADEME en 2030. On considère l'algorithme suivant :

    $${|l|}\hline	
      \textbf{Variables}\\
      \hspace{0.4cm}$u$ : un nombre r\'eel\\
      \hspace{0.4cm}$q$ : un nombre r\'eel\\
      \textbf{Initialisation}\\
      \hspace{0.4cm}Affecter \`a $u$ la valeur 173\,974\\
      \hspace{0.4cm}Affecter \`a $q$ la valeur $1,16$\\
      \textbf{Traitement}\\
      \hspace{0.4cm}Tant que $u \leqslant  240000$\\
      \hspace{0.8cm}$q$ prend la valeur $q + 0,01$\\
      \hspace{0.8cm}$u$ prend la valeur $13954 \times  q^{17}$\\
      \hspace{0.4cm}Fin Tant que\\
      \textbf{Sortie}\\
      \hspace{0.4cm}Afficher $(q - 1) \times 100$\\ \hline
    $$


    1. Que représente la valeur 173 974 prise par la variable $u$ dans l'initialisation de l' algorithme ?
    2. Faire fonctionner cet algorithme. Pour cela reproduire et compléter le tableau ci-dessous. Des lignes supplémentaires pourront être ajoutées.

      $${|c|*2{|c}|}\hline
        Étapes de l'algorithme&\multicolumn{2}{|c|}{ Variables}\\ \hline
        &$q$& $u$\\ \hline
        Initialisation& 1,16& 173974\\ \hline
        Étape 1 &\ldots & \ldots\\ \hline
        Étape 2 &\ldots&\ldots\\ \hline
        \ldots& \ldots&\ldots\\ \hline
      $$


    3. Quelle est la valeur affichée par l'algorithme ? Interpréter le résultat.

Solution:


Partie A
  1. Selon les prévisions de l'ADEME, en 2030, $24\%\tm2.10^6=480\,000$ véhicules hybrides seront vendus.
  2. Les véhicules à faible émission de $\text{CO}_2$ sont les véhicules hybrides et électriques, soit un pourcentage prévu en 2030 de $7\%+4\%=11\%$.

Partie B
  1. Le pourcentage d'augmentation des ventes de véhicules hybrides de 2012 à 2013 est $\dfrac{41\,340-27\,730}{27\,730}\simeq 0,4908=49,08\%$.
    1. $u_0=41\,340$.
    2. $u_n=41\,340\tm1,16^n$
    3. En 2030, avec $n=17$ et donc $u_{17}=41\,340\tm1,16^{17}\simeq515\,414>480\,000$: la prévision de l'ADME serait atteinte (et même dépassée).
  2. Les professionnels de l'automobile s'intéressent aussi aux ventes de véhicules électriques de 2013 à 2030. Le nombre de véhicules électriques vendus en 2013 est de 13954.
    1. On saisit dans la cellule $B3$ la formule $=B2\tm1,16$ .
    2. Les prévisions de l'ADEME sont de $12\%\tm2.10^6=240\,000$ véhicules électriques vendus en 2030.
      Ici, avec une qugmentation de 16% par an, il y aurait en 2030 environ 173 974 véhicules vendus et les prévisions ne seraiernt pas atteintes.
    1. La valeur 173 974 prise par la variable $u$ dans l'initialisation de l' algorithme correspond au nombre de véhicules électriques vendus en 2030 avec une augmentation de 16% par an, et donc la raison de la suite égale à $q=1,16$.

    2. \[\begin{tabular}{|c|*2{|c}|}\hline
    Étapes de l'algorithme&\multicolumn{2}{|c|}{ Variables}\\ \hline
    &$q$& $u$\\ \hline
    Initialisation& 1,16& 173974\\ \hline
    Étape 1 &1,17 & $\simeq201\,306$\\ \hline
    Étape 2 &1,18& $\simeq232\,644$\\ \hline
    Étape 3 &1,19& $\simeq268\,532$\\ \hline
    \end{tabular}\]


    3. La valeur affichée par l'algorithme est donc $(q-1)\tm100=(1,19-1)\tm100=19$.
      Il s'agit du pourcentage d'augmentation qu'il faudrait chauqe année pour atteindre l'objectif de l'ADEME en 2030.


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