Exercice Bac STI2D & STL - 16 juin 2017

Suites et algorithme


La climatisation d'un véhicule automobile est un système de qui a une double fonction, refroidir ou réchauffer l'habitacle. Ce système fonctionne grâce à une certaine masse de gaz réfrigérant stocké dans un réservoir.
On suppose que, par défaut d'étanchéité, le système perd naturellement $0,1$ gramme de gaz chaque jour.
Un automobiliste possède un véhicule pour lequel la masse de gaz dans le réservoir est initialement de $660$ grammes.

Partie A. Le constructeur préconise de recharger le réservoir lorsque la masse de gaz est inférieure à $440$ grammes.
Au bout de combien de jours le constructeur préconise-t-il à l'automobiliste de recharger ce réservoir ?

Partie B. Lors d'une visite d'entretien, le garagiste signale à l'automobiliste que le système de climatisation de son véhicule présente une baisse significative de masse de gaz : en plus de la perte naturelle de $0,1$ gramme, le système perd 1%. de sa masse chaque jour.
Le garagiste recharge alors complétement le réservoir.
Pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ la masse de gaz dans le réservoir au bout de $n$ jours après cette visite.
On a donc, $u_0=660$ et on admet que pour tout entier naturel $n$, on a:
\[u_{n+1} = 0,99u_n -0,1.\]


  1. Calculer $u_1$ et $u_2$.
  2. Voici un algorithme qui, lorsque l'on saisit un nombre $N$ non nul de jours écoulés, calcule et affiche la masse de gaz restant dans le système.
    \[\psset{unit=1cm}\begin{tabular}{|p{7cm}|}\hline
    \pspolygon[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](-.15,0)(7.2,0)(7.2,.35)(-.15,.35)
    {\textbf{Variables}}\\
    $N$: un nombre entier naturel \\
    $k$: un nombre entier naturel \\
    $u$: un nombre entier r\'eel\\
    \pspolygon[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](-.15,0)(7.2,0)(7.2,.35)(-.15,.35)
    \textbf{Entr\'ee} \\
    Saisir $N$ \\
    \pspolygon[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](-.15,0)(7.2,0)(7.2,.35)(-.15,.35)
    \textbf{Initialisation}\\
    $u$ prend la valeur $660$\\
    \pspolygon[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](-.15,0)(7.2,0)(7.2,.35)(-.15,.35)
    \textbf{Traitement}\\
    Pour $k$ de $1$ jusqu'\`a\ldots\\
    \quad$u$ prend la valeur \ldots\\
    Fin de la boucle Pour\\
    \pspolygon[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](-.15,0)(7.2,0)(7.2,.35)(-.15,.35)
    \textbf{Sortie}\\
    Afficher u\\
    \hline
  \end{tabular}\]


    1. Recopier et compléter la partie relative au Traitement de cet algorithme.
    2. Quelle masse de gaz restera-t-il au bout de 20 jours ? Arrondir au gramme près.
  3. Soit la suite $ \left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel par $v_n = u_n +10$.
    1. Calculer $v_0$.
    2. On admet que $(v_n)$ est une suite géométrique de raison 0,99. Pour tout entier naturel $n$, exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
    3. En déduire que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_n = 670 \times 0,99^n -10$.
    4. À l'aide de cette expression, vérifier le résultat obtenu à la question 2.b.
  4. On rapelle que le constructeur préconise de recharger le réservoir au plus tard lorsque la masse de gaz est inférieure à 440g.
    Le coüt d'une recharge est de 80 euros. Le garagiste propose de réparer le système pour 400 euros. Pourquoi est-il plus économique pour cet automobiliste de réparer le système ? Justifier la réponse.

Solution:



Partie A. En $n$ jours, la masse de gaz a diminué de $660-0,1\times n$. On cherche donc $n$ tel que $660-0,1\times n=440\iff n=\dfrac{660-440}{0,1}=2200$.
Au bout de 2200 jours, le constructeur préconise de recharger ce réservoir.

Partie B.
  1. $u_1=0,99u_0-0,1=0,99\tm660-0,1=653,3$ et $u_2=0,99u_1-0,1=0,99\tm653,3-0,1=646,377$.

    1. \[\psset{unit=1cm}\begin{tabular}{|p{7cm}|}\hline
    \dots\\
    \textbf{Traitement}\\
    Pour $k$ de $1$ jusqu'\`a $N$\\
    \quad$u$ prend la valeur 0,99u-0,1\\
    Fin de la boucle Pour\\
    \dots\\\hline
  \end{tabular}\]


    2. À l'aide de cet algorithme, on trouve qu'il reste $u_{20}\simeq 537,99\simeq 538\,g$ de gaz restera au bout de 20 jours.
    1. $v_0=_0+10=660+10=670$.
    2. $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $0,99$ donc, pour tout entier $n$, $v_n=v_0q^n=670\tm0,99^n$.
    3. On en déduit que, pour tout entier naturel $n$, on a: $u_n=v_n-10= 670 \times 0,99^n -10$.
    4. On trouve alors que $u_{20}=670\tm0,99^{20}-10\simeq 538$, qui est le résultat obtenu à la question 2.b.
  2. Réparer le sytème coûte 400 euros et tient 2200 jours d'après la partie A.
    Sans réparation, on doit utiliser une recharge lorsque $u_n<440$, soit $670\tm0,99^n<440$, donc $n>\dfrac{1}{\l(0,99)}\tm\ln\lp\dfrac{440}{670}\rp\simeq 40$; une recharge doit donc être utilisée tous les 40 jours en l'abscence de réparation.

    En 2200 jours, le système réparé coûte 400 euros, alors qu'il faudrait utiliser $\dfrac{2200}{40}=55$ recharges, soit un coût de $55\tm\tm80=4400$ euros: il vaut, largement, mieux réparer le système.


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