Exercice Bac S - Centres étrangers 2010

Une application dans le plan complexe: Nombres complexes et géométrie


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(Centres étrangers, Juin 2010, 5 points)
 
Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormal direct d'unité graphique 4 cm, on considère le point A d'affixe et l'application , du plan dans lui·même, qui au point d'affixe , distinct de A, associe le point d'affixe tel que :



 
  1. Déterminer l'affixe des points tels que .
     
  2. Démontrer que pour tout point distinct de A et de O, on a :

     
    1. Soit B le point d'affixe . Placer dans le repère le point B et la médiatrice () du segment [OA].
       
    2. Calculer sous forme algébrique l'affixe du point B image du point B par . Établir que B appartient au cercle de centre O et de rayon 1.
      Placer le point B et tracer le cercle dans le repère.
       
    3. En utilisant la question 2, démontrer que, si un point appartient à la médiatrice (), son image par appartient au cercle .
       
    4. Soit C le point tel que le triangle AOC soit équilatéral direct. En s'aidant des résultats de la question 2, construire, à la règle et au compas, l'image du point C par (On laissera apparents les traits de construction.)
     
  3. Dans cette question, on se propose de déterminer l'ensemble () des points distincts de A et de O dont l'image par appartient à l'axe des abscisses.
     
    À l'aide de la question 2, retrouver géométriquement la nature de l'ensemble ().

Solution:


  1. On a lorsque , soit:

    soit donc, : les points d'affixes et vérifient .
  2. Pour tout point distinct de A et de O, on a:



    1. Soit le point d'affixe . (Voir figure en fin d'exercice)
    2. Calcul de l'affixe du point image du point par :


      appartient au cercle de centre et de rayon 1, car:


    3. Si est sur la médiatrice , on a . Ainsi est sur le cercle de centre et de rayon 1.
    4. Soit le point tel que le triangle soit équilatéral direct. Le point est sur le cercle . On a .
      On a de plus, d'après la question 2., , et, comme , on en déduit que a comme ordonnée et se trouve donc aussi sur la médiatrice de , avec .

  3.  
    Géométriquement, est sur l'axe des abscisses si et seulement si . Soit, d'après la question 2.,



    On en déduit donc que est sur le cercle de diamètre .


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