Bac S - Métropole, juin 2014

Equation bicarrée complexe

Exercice corrigé Bac S, métropole juin 2014: Equation bicarrée complexe



On désigne par (E) l'équation
z^4 + 4z^2 + 16 = 0

d'inconnue complexe $z.
  1. Résoudre dans $\C l'équation $Z^2 +4Z + 16 = 0.
    Écrire les solutions de cette équation sous une forme exponentielle.
  2. On désigne par $a le nombre complexe dont le module est égal à 2 et dont un argument est égal à $\dfrac{\pi}{3}.
    Calculer $a^2 sous forme algébrique.
    En déduire les solutions dans $\C de l'équation $z^2 = - 2 + 2i\sqrt{3}. On écrira les solutions sous forme algébrique.
  3. Restitution organisée de connaissances
    On suppose connu le fait que pour tout nombre complexe $z = x +iy$x\in\R et $y\in\R, le conjugué de $z est le nombre complexe $z défini par $z=x-iy.
    Démontrer que:
    • Pour tous nombres complexes $z_{1} et $z_{2}, $\overline{z_{1}z_{2}} = \overline{z_{1}}\:\cdot\:\overline{z_{2}}.
    • Pour tout nombre complexe $z et tout entier naturel non nul $n, $\overline{z^{n}} = \left(\overline{z}\right)^n.
  4. Démontrer que si $z est une solution de l'équation (E) alors son conjugué $\overline{z} est également une solution de (E).
    En déduire les solutions dans $\C de l'équation (E). On admettra que (E) admet au plus quatre solutions.


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