Bac S - Métropole, juin 2015

Nombres complexes: un exercice complet et classique

Exercice corrigé Bac S, métropole juin 2015: Nombres complexes: module, argument, affixe...


  1. Résoudre dans l'ensemble $\C des nombres complexes l'équation (E) d'inconnue $z :
    z^2 - 8z + 64 = 0.


    Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct $\left( O;\vec{u},\vec{v}\rp.
  2. On considère les points $A, $B et $C d'affixes respectives $a=4+4i\sqrt{3}, $b=4-4i\sqrt{3} et $c=8i.
    1. Calculer le module et un argument du nombre $a.
    2. Donner la forme exponentielle des nombres $a et $b.
    3. Montrer que les points $A, $B et $C sont sur un même cercle de centre $O dont on déterminera le rayon.
    4. Placer les points A, B et C dans le repère $\left( O;\vec{u},\vec{v}\rp.



    Pour la suite de l'exercice, on pourra s'aider de la figure de la question 2. d. complétée au fur et à mesure de l'avancement des questions.
     

  3. On considère les points $A', $B' et $C' d'affixes respectives $a'=ae^{i\frac{\pi}{3}}, $b'=be^{i\frac{\pi}{3}} et $c'=ce^{i\frac{\pi}{3}}.
    1. Montrer que $b' = 8.
    2. Calculer le module et un argument du nombre $a'.



    Pour la suite on admet que $a'=-4+4i\sqrt{3} et $c'=-4\sqrt{3}+4i.
     

  4. On admet que si $M et $N sont deux points du plan d'affixes respectives $m et $n alors le milieu $I du segment $[MN] a pour affixe $\dfrac{m+n}{2} et la longueur $MN est égale à $|n-m|.
    1. On note $r, $s et $t les affixes des milieux respectifs $R, $S et $T des segments $[A'B], $[B'C] et $[C'A]. Calculer $r et $s. On admet que $t=2-2\sqrt{3}+i\lp2+2\sqrt{3}\rp.
    2. Quelle conjecture peut-on faire quant à la nature du triangle RST ? Justifier ce résultat.

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