Bac S - M├ętropole, juin 2015

Nombres complexes: un exercice complet et classique


  1. Résoudre dans l'ensemble $\C des nombres complexes l'équation (E) d'inconnue $z :
    z^2 - 8z + 64 = 0.


    Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct $\left( O;\vec{u},\vec{v}\rp.
  2. On considère les points $A, $B et $C d'affixes respectives $a=4+4i\sqrt{3}, $b=4-4i\sqrt{3} et $c=8i.
    1. Calculer le module et un argument du nombre $a.
    2. Donner la forme exponentielle des nombres $a et $b.
    3. Montrer que les points $A, $B et $C sont sur un même cercle de centre $O dont on déterminera le rayon.
    4. Placer les points A, B et C dans le repère $\left( O;\vec{u},\vec{v}\rp.



    Pour la suite de l'exercice, on pourra s'aider de la figure de la question 2. d. complétée au fur et à mesure de l'avancement des questions.
     

  3. On considère les points $A', $B' et $C' d'affixes respectives $a'=ae^{i\frac{\pi}{3}}, $b'=be^{i\frac{\pi}{3}} et $c'=ce^{i\frac{\pi}{3}}.
    1. Montrer que $b' = 8.
    2. Calculer le module et un argument du nombre $a'.



    Pour la suite on admet que $a'=-4+4i\sqrt{3} et $c'=-4\sqrt{3}+4i.
     

  4. On admet que si $M et $N sont deux points du plan d'affixes respectives $m et $n alors le milieu $I du segment $[MN] a pour affixe $\dfrac{m+n}{2} et la longueur $MN est égale à $|n-m|.
    1. On note $r, $s et $t les affixes des milieux respectifs $R, $S et $T des segments $[A'B], $[B'C] et $[C'A]. Calculer $r et $s. On admet que $t=2-2\sqrt{3}+i\lp2+2\sqrt{3}\rp.
    2. Quelle conjecture peut-on faire quant à la nature du triangle RST ? Justifier ce résultat.

Solution:


  1. L'équation du second degré $z^2-8z+64=0 a pour discriminant $\Delta=64-4\times 64=-3\times 64<0 est admet donc deux solutions complexes conjuguées: $z_1=\dfrac{8+i\sqrt{3\times 64}}{2}=4+4i\sqrt{3} et $z_2=\overline{z_1}=4-4i\sqrt{3}.
    1. $|a|=|4+4i\sqrt{3}|=4|1+i\sqrt{3}|=4\times 2=8. On en déduit $a=8\lp\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt3}{2}\rp=4\lp\cos\dfrac\pi3+i\sin\dfrac\pi3\rp. Un argument de $a est donc $\dfrac\pi3.
    2. On a trouvé $a=4e^{i\frac\pi3} et $b=\overline{a}=4e^{-i\frac\pi3}.
    3. $|a|=8 ; $|b|=\left|\overline{a}\right|=|a|=8 et $|c|=\vert8i|=8. Les points $A, $B et $C sont donc sur le cercle de centre $O et de rayon 8.
    4. Voir figure en fin d'exercice.


    1. $b'=be^{i\frac\pi3}=8e^{-i\frac\pi3}\times e^{i\frac\pi3}=8.
    2. $a'=ae^{i\frac\pi3}=8e^{i\frac\pi3}e^{\frac\pi3}=8e^{i\frac{2\pi}{3}}. Donc $|a'|=8, et $\arg(a')=\dfrac{2\pi}{3}.
    1. $r=\dfrac{a'+b}{2}=\dfrac{-4+4i\sqrt{3}+4-4i\sqrt{3}}{2}=0, et $s=\dfrac{b'+c}{2}=\dfrac{8+8i}{2}=4+4i.
    2. $RST semble être un triangle équilatéral.
      On calcule: $RS=|s-r|=|4+4i|=4|1+i|=4\sqrt2,
      \begin{array}{ll}ST&=|t-s|=|-2-2\sqrt3+i\lp-2+2\sqrt3\rp|
    =2|-1-\sqrt{3}+i\lp-1+\sqrt{3}\rp|\\[.3cm]
    &=2\sqrt{\left(-1-\sqrt{3}\right)^2+\left(-1+\sqrt{3}\right)^2}=2\sqrt{\left(1+2\sqrt{3}+3+1-2\sqrt{3}+3\right)}=2\sqrt8=4\sqrt2\enar

      et
      \begin{array}{ll}RT&=|t-r|=|2-2\sqrt3+i(2+2\sqrt3)|
    =2|1-\sqrt3+i(1+\sqrt3)|\\[.3cm]
    &=2\sqrt{1-2\sqrt{3}+3+1+2\sqrt{3}+3}=2\sqrt{8}
    =4\sqrt2\enar


      $RS=ST=RT=4\sqrt{2} donc le triangle $RST est bien équilatéral.


\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.5cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-9.,-9.)(9.5,9.5)
\psellipse(0.,0.)(8.,8.)
\psline(-4.,6.92820323027551)(4.,-6.928203230275509)
\psline(8.,0.)(0.,8.)
\psline(-6.928203230275509,4.)(4.,6.928203230275509)
\psline(0.,0.)(4.,4.)
\psline(4.,4.)(-1.4641016151377544,5.464101615137755)
\psline(-1.4641016151377544,5.464101615137755)(0.,0.)
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](4.,6.928203230275509)
\rput[bl](4.169401790290362,7.161121938954711){\blue{$A$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](4.,-6.928203230275509)
\rput[bl](4.169401790290362,-6.701250295749133){\blue{$B$}}
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\rput[bl](0.14612708998838755,8.236650819233457){\blue{$C$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](0.,0.)
\rput[bl](0.14612708998838755,0.22993582160278905){\blue{$O=R$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](-4.,6.92820323027551)
\rput[bl](-3.8373132073402996,7.161121938954711){\blue{$A'$}}
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\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](-6.928203230275509,4.)
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\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](0.,0.)
%\rput[bl](0.14612708998838755,0.22993582160278905){\darkgray{$R$}}
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\end{pspicture*}



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