Exercice Bac - Antilles - Guyane juin 2000

Polynôme complexe et géométrie dans le plan complexe


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(Baccalauréat Antilles-Guyane, Juin 2000, 5 points)
  1. Pour tout nombre complexe , on pose .
    1. Calculer .
    2. Déterminer les réels et tels que pour tout nombre complexe , on ait :

    3. Résoudre dans C l'équation .
  2. Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct . (Unité graphique : 2 cm.) On désigne par , , et les points du plan d'affixes respectives

    1. Réaliser une figure et placer les points , , et .
    2. Calculer les distances , et . En déduire la nature du triangle .
    3. Calculer un argument du nombre complexe . En déduire la nature du triangle .

Solution:


    1. donc, , d'où, .
    2. Le trinôme a pour discriminant: , et admet donc deux racines complexes conjuguées.
      Au final, .


    1.  

       

       
      On en déduit que le triangle est équilatéral.
       

    2.  
      On a donc , donc . Comme de plus, , on en déduit que le triangle est rectangle en .


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