Exercice Bac - Antilles - Guyane juin 2000
Polynôme complexe et géométrie dans le plan complexe
(Baccalauréat Antilles-Guyane, Juin 2000, 5 points)
- Pour tout nombre complexe
, on pose
.
- Calculer
.
- Déterminer les réels
et
tels que pour tout nombre complexe
, on ait :
- Résoudre dans C l'équation
.
- Calculer
- Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal
direct
. (Unité graphique : 2 cm.) On désigne par
,
,
et
les points du plan d'affixes respectives
- Réaliser une figure et placer les points
,
,
et
.
- Calculer les distances
,
et
. En déduire la nature du triangle
.
- Calculer un argument du nombre complexe
. En déduire la nature du triangle
.
- Réaliser une figure et placer les points
Solution:
-
-
-
donc,
, d'où,
.
- Le trinôme
a pour discriminant:
, et admet donc deux racines complexes conjuguées.
Au final,.
-
-
-
-
est équilatéral.
-
, donc
. Comme de plus,
, on en déduit que le triangle
est rectangle en
.
-
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