Exercice type Bac - Nombres complexes

Polynôme complexe et géométrie dans le plan complexe


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On considère le polynôme défini par:   ; .
  1. Calculer et , puis trouver un polynôme du second degré à coefficients réels tel que, pour tout , on ait .
  2. Résoudre dans l'équation .
  3. Placer dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal les points , , et d'affixes respectives , , et , puis montrer que ces quatre points appartiennent à un même cercle.
  4. On note le symétrique de par rapport à .
    Conjecturer la nature du triangle , puis démontrer votre conjecture.

Solution:


On considère le polynôme défini par:   ; .

  1. Pour tout complexe , on a:
     



     
    et donc, pour , .
    Le polynôme recherché est au plus du second degré, et s'écrit donc sous la forme
    , où , et sont trois nombres réels.
    On a donc,
    et on doit donc avoir: , soit , , et .
    Ainsi, .
  2. .
    La première équation a pour solutions et .
    La deuxième équation a pour discriminant , et admet donc deux solutions complexes conjuguées: et .
    L'équation admet donc quatre solutions: .
  3. A l'aide de la représentation dans le plan complexe, on peut conjecturer que ces quatre points appartiennent au cercle de centre d'affixe .
    On vérifie cette conjecture: , , puis, par symétrie, , et .
    Ainsi, , et les quatre points appartiennent bien au même cercle.
  4. a pour affixe . Le triangle est isocèle, par symétrie. De plus, , .
    Ainsi, le triangle est isocèle, mais n'est pas équilatéral, ni rectangle (d'après le théorème de Pythagore, car ).


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