Exercice type Bac - ROC
Restitution Organisée des Connaissances: Nombres complexes
ROC
- Prérequis: pour tous nombres complexes
et
,
Démontrer par récurrence que, pour tout nombre complexeet pour tout entier naturel
,
-
- Déterminer le module et un argument de
.
- En déduire une forme trigonométrique de
.
- Déterminer le module et un argument de
Solution:
ROC
-
Démontrons par récurrence que, pour tout nombre complexe
et pour tout entier naturel
,
.
,
, et
, et donc on a bien
, et la propriété est vraie au rang
.
on ait
.
Alors, au rang:
Ainsi, la propriété est encore vraie au rang.
est donc vraie pour tout entier
.
Démontrons par récurrence que, pour tout nombre complexe
et pour tout entier naturel
,
.
,
, et donc on a bien
, et la propriété est vraie au rang
.
on ait
.
Alors, au rang:
Ainsi, la propriété est encore vraie au rang.
est donc vraie pour tout entier
.
-
-
, et donc,
.
Soit, alors
, d'où
.
- On a alors,
, et
,
d'où, car
, et
.
-
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