Exercice type Bac - Nombres et plan complexes

Ensemble des points fixes d'une fonction


Le plan est rapporté au repère orthonormal $\left( O;\vec{u},\vec{v}\rp.
A tout point $M d'affixe $z du plan, on associe le point $M' d'affixe $z' tel que    $z'=\dfrac{(3+4i)z+5\overline{z}}{6}.
On définit la fonction $f par $f(M)=M'.
  1. On considère les points $A, $B et $C d'affixes respectives $z_A=1+2i, $z_B=1 et $z_C=3i.
    Déterminer les affixes des points $A', $B' et $C' images respectives de $A, $B et $C par $f. Placer les points $A, $B, $C, $A', $B' et $C'.
  2. On pose $z=x+iy, avec $x et $y réels. Déterminer la partie réelle et la partie imaginaire de $z en fonction de $x et $y.
  3. Montrer que l'ensemble des points $M invariants par $f est la droite $D d'équation $y=\dfrac12 x.
    Tracer $D. Que remarque-t-on ?
    (Indication: un point invariant par $f, ou point fixe, est un point $M tel que $f(M)=M).
  4. Soit $M un point quelconque du plan et $M' son image par $f.
    Montrer que $M' appartient à la droite $D.

Solution:


On définit la fonction $f par $f(M)=M', avec $z'=\dfrac{(3+4i)z+5\overline{z}}{6}.
  1. On considère les points $A, $B et $C d'affixes respectives $z_A=1+2i, $z_B=1 et $z_C=3i.
    $A'=f(A), avec $z_A'=\dfrac{(3+4i)z_A+5\overline{z_A}}{6}
  =\dfrac{(3+4i)(1+2i)+5(1-2i)}{6}
  =0.
    $B'=f(B), avec $z_B'=\dfrac{(3+4i)z_B+5\overline{z_B}}{6}
  =\dfrac{(3+4i)+5}{6}=\dfrac{4+2i}{3} $C'=f(C), avec $z_C'=\dfrac{(3+4i)z_C+5\overline{z_C}}{6}
  =\dfrac{(3+4i)(3i)+5(-3i)}{6}
  =\dfrac{-12-6i}{6}=-2-i

    
  \psset{unit=1cm,arrowsize=7pt}
  \begin{pspicture}(-4,-1.5)(4,3.5)
    \psline[linewidth=1.pt]{->}(-3.4,0)(4.2,0)
    \psline[linewidth=1.pt]{->}(0,-1.2)(0,3.6)
    \psline[linewidth=1.8pt]{->}(0,0)(0,1)\rput(-0.3,0.5){$\vec{v}$}
    \psline[linewidth=1.8pt]{->}(0,0)(1,0)\rput(0.5,-0.25){$\vec{u}$}
    \rput(1,2){$\tm$}\rput(1.3,2){$A$}
    \rput(1,0){$\tm$}\rput(1.2,-0.3){$B$}
    \rput(0,3){$\tm$}\rput(-0.3,3){$C$}
    \rput(0,0){$\tm$}\rput(-.3,-0.3){$A'$}
    \rput(1.3333,0.66666){$\tm$}\rput(1.6,0.5){$B'$}
    \rput(-2,-1){$\tm$}\rput(-2.3,-0.8){$C'$}
    % D
    \psplot{-2.8}{4.2}{0.5 x mul}\rput(3.5,2){$D$}
  \end{pspicture}


  2. $z'=\dfrac{(3+4i)z+5\overline{z}}{6}
  =\dfrac{(3+4i)\left( x+iy\rp+5\left( x-iy\rp}{6}
  =\dfrac16\Bigl( 8x-4y\Bigr)+i\dfrac16\Bigl( 4x-2y\Bigr)
    Ainsi, la partie réelle de $z' est $\Re e\left( z'\right)
  =\dfrac13\Bigl( 4x-2y\Bigr), et sa partie imaginaire $\Im m\left( z'\rp=\dfrac13\Bigl( 2x-y\Bigr).
  3. Soit un point $M d'affixe $z tel que $f(M)=M, alors on a $z=\dfrac{(3+4i)z+5\overline{z}}{6},
    et, d'après le calcul précédent, si $z=x+iy, alors $\la\begin{array}{ll}
  x=\dfrac13\Bigl( 4x-2y\Bigr)\\[0.4cm]
  y=\dfrac13\Bigl( 2x-y\Bigr)\enar\right.
  \iff
  \la\begin{array}{ll}
  x-2y=0\\[0.4cm]
  -2x+4y=0
  \enar\right.
  .
    Ces deux équations sont équivalentes, et l'ensemble des points invariants est la droite $D:x-2y=0. On remarque que les points $A', $B' et $C' sont des points de $D.
  4. Soit $M d'affixe $z=x+iy, $x\in\R, $y\in\R. Alors $M' a pour affixe $z'=x'+iy' tel que
    $\la\begin{array}{ll}
  x'=\dfrac13\Bigl( 4x-2y\Bigr)\\[0.4cm]
  y'=\dfrac13\Bigl( 2x-y\Bigr)\enar\right.
  et on vérifie donc bien que $2y'=\dfrac13\Bigl( 4x-2y\Bigr)=x', et donc que $M'\in D.
    Ainsi tous les points du plan ont une image par $f sur la droite $D.


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