Exercice type Bac - Nombres et plan complexes

Ensemble des points fixes d'une fonction

Exercice corrigé type Bac: Nombres complexes, une fonction dans le plan complexe


Le plan est rapporté au repère orthonormal $\left( O;\vec{u},\vec{v}\rp.
A tout point $M d'affixe $z du plan, on associe le point $M' d'affixe $z' tel que    $z'=\dfrac{(3+4i)z+5\overline{z}}{6}.
On définit la fonction $f par $f(M)=M'.
  1. On considère les points $A, $B et $C d'affixes respectives $z_A=1+2i, $z_B=1 et $z_C=3i.
    Déterminer les affixes des points $A', $B' et $C' images respectives de $A, $B et $C par $f. Placer les points $A, $B, $C, $A', $B' et $C'.
  2. On pose $z=x+iy, avec $x et $y réels. Déterminer la partie réelle et la partie imaginaire de $z en fonction de $x et $y.
  3. Montrer que l'ensemble des points $M invariants par $f est la droite $D d'équation $y=\dfrac12 x.
    Tracer $D. Que remarque-t-on ?
    (Indication: un point invariant par $f, ou point fixe, est un point $M tel que $f(M)=M).
  4. Soit $M un point quelconque du plan et $M' son image par $f.
    Montrer que $M' appartient à la droite $D.

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