Exercice (type) Bac - Analyse: intégrale et primitive

Encadrement d'intégrales et propriétés de la primitive d'une fonction


On donne le tableau de variation d'une fonction dérivable sur :



  1. On considère les intégrales suivantes:

    Pour une seule de ces intégrales on peut affirmer qu'elle est positive, et pour une seule on peut affirmer qu'elle est négative.
    Préciser ces deux intégrales et justifier ce choix.
  2. A l'aide des informations contenues dans le tableau de variation de , donner un encadrement par des nombres entiers des intégrales suivantes:


  3. On définit, pout tout réel , la fonction par .
    1. Déterminer deux entiers naturels et tels que .
    2. Etudier la limite de lorsque tend vers .
    3. Etudier le sens de variation de la fonction .

Solution:


  1. Comme la fonction est positive sur , on a: .
    Comme la fonction est négative sur l'intervalle , on a: .
  2. Pour tout réel , on a: .
    En intégrant pour allant de à , on obtient, car l'intégrale conserve l'ordre,


    De même, sur l'intervalle , , et donc,

    1. D'après la relation de Chasles: , d'où .
    2. Pour tout réel , on a .
      Ainsi, si , alors .
      Or, , et donc, par comparaison (théorème des gendarmes), on en déduit que .
    3. est la primitive de qui s'nnule en , et ainsi, .
      Comme est négative sur , est décroissante sur , et comme est positive sur , est croissante sur .


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