Exercice (type) Bac - Analyse: inégalités et intégrales

Etude de fonctions, inégalités et encadrement d'intégrales


On se propose de donner une valeur approchée de l'intégrale:
    1. Etudier les variations de la fonctions définie sur par:    .
    2. Montrer que, pour tout nombre réel de ,    .

  1. et sont les intégrales définies par:
    1. Déterminer des nombres réels et pour lesquels la fonction définie par est une primitive de . En déduire que .
    2. Utiliser l'encadrement de obtenu précédemment pour démontrer que .
    3. Démontrer que .
    4. Déduire de ce qui précède un encadrement de , puis en donner une valeur approchée à près.

Solution:


    1. est une fonction dérivable sur , comme quotient de fonctions dérivables sur et dont le dénominateur ne s'annule pas sur , avec, pour tout ,

      Comme, pour tout , , , et , on a donc , et donc, est décroissante sur .
    2. est décroissante sur , donc pour tout , .
      Or, , et .
      On a donc bien, pour tout nombre réel de ,    .

  1. et sont les intégrales définies par:
    1. Pour tout réel , .
      Aini, pour tout réel , .
      Ainsi, la fonction définie par est une primitive de .
      On a alors, .
    2. La multiplication par et l'intégrale conservent l'ordre, et donc,

      avec , et on a donc, .
    3. .
       

    4.  
       


      avec, à près: et . Ainsi,    .


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