Exercice (type) Bac - Analyse: inégalités et intégrales

Etude de fonctions, inégalités et encadrement d'intégrales


  1. On considère la fonction définie sur par .
    En étudiant les variations de la fonction , montrer que pour , on a .
  2. Montrer que, pour tout réel , on a:   .
  3. Déduire des questions précédentes que, pour tout réel ,    .
  4. Donner un encadrement de l'intégrale .

Solution:


  1. est dérivable sur (comme somme de fonctions de références dérivables sur donc sur , avec, pour tout , .
    De plus, , car la fonction exponentielle est strictement croissante sur .



    On a donc, d'après le tableau de variation de , pour tout ,


  2. Soit la fonction définie sur par .
    Pour tout ,
    D'après la question précédente, on sait donc que pour tout , .
    Ainsi, est croissante sur .
    On a alors, pour tout réel , , soit aussi, comme , pour tout , .
  3. D'après les questions précédentes, pour tout réel , on a .
    Soit , et tel que (et existe bien car ).
    Alors , et donc, les inégalités précédentes donnent , soit , ceci étant donc valable pour tout .
  4. Pour tout , on a . et donc, l'intégrale conservant l'ordre,


    Or, ,
    et
    soit donc l'encadrement, .


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