Exercice type Bac - Analyse

Composition d'un logarithme et d'une fonction rationnelle

Exercice corrigé - Logarithme composé avec une fonction rationnelle


Soit $f la fonction définie sur $]\,0;+\infty[ par: $ f(x)=x+\ln\lp\dfrac{x}{2x+1}\right) .
On note $\mathcal{C}_f sa courbe représentative dans un repère $\left( O;\vec{i},\vec{j}\rp.
  1. Etudier les limites de $f en $0 et en $+\infty.
     
  2. Etudier les variations de $f et dresser son tableau de variation.
     
    1. Montrer que la droite $\Delta d'équation $y=x-\ln(2) est asymptote à $\mathcal{C}_f en $+\infty.
       
    2. Etudier la position de $\mathcal{C}_f par rapport à $\Delta.
     
  4. Montrer que l'équation $f(x)=0 admet une solution unique $\alpha et justifier que $\dsp\alpha\in\Big[1;\frac{5}{4}\Big[.
  5. Tracer $\Delta et $\mathcal{C}_f.

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