Exercice type Bac - Analyse

Ajustement des paramètres d&pos;une fonction et son étude

Un exercice corrigé complet type Bac: Ajustement des paramètres d'une fonction, puis son étude complète


D'après sujet de bac
Partie A
Soit $ \varphi$ la fonction numérique de la variable réelle $ x$ telle que: $ \varphi(x)=\dfrac{3x^2+ax+b}{x^2+1}$ .
Déterminer les réels $ a$ et $ b$ pour que la courbe représentative de $ \varphi$ soit tangente au point $ I$ de coordonnées $ (0;3)$ à la droite $ (T)$ d'équation $ y=4x+3$ .
Partie B
Soit $ f$ la fonction numérique de la variable réelle $ x$ telle que: $ f(x)=\dfrac{3x^2+4x+3}{x^2+1}$ .
  1. Montrer que pour tout $ x$ réel, $ f(x)=\alpha+\dfrac{\beta x}{x^2+1}$ , $ \alpha$ et $ \beta$ étant deux réels que l'on déterminera.
  2. Etudier la fonction $ f$ .
  3. Etudier la position de la courbe $ (C)$ représentative de $ f$ par rapport à la tangente $ (T)$ au point $ I$ de coordonnées $ (0;3)$ .
  4. Construire la courbe $ (C)$ ; on prendre pou unité 2 cm.
  5. Soit $ g$ la fonction numérique de la variable réelle $ x$ telle que: $ g(x)=f\left(\vert x\vert\right)$ et $ (C')$ sa courbe représentative. Sans étudier la fonction $ g$ , construire $ (C')$ sur le graphique précédent.

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