Exercice type Bac - Analyse

L'essentiel d'une étude de fonction


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est la fonction définie sur par .
On note sa courbe représentative.
  1. Déterminer les limites de en et .
  2. Déterminer les limites de en et .
  3. Interpréter graphiquement les résultats des deux questions précédentes.
  4. Calculer et dresser le tableau de variation de .
  5. Tracer dans un repère les asymptotes de et l'allure de .

Solution:


est la fonction définie sur par .
  1. Pour tout , .
    On a et , et donc, par quotient des limites, .
    De même, .
  2. Limite en :   .
    Le dénominateur tend quant à lui vers ( est une valeur interdite). Il nous faut de plus déterminer le signe de celui-ci. est un trinôme du second degré qui admet comme racines et , et qui a donc pour signes


    Ainsi, (c'est-à-dire que ),
    puis, par quotient des limites,
    De même, (c'est-à-dire que ),
    puis, par quotient des limites,
     
    Limites en :    .
    De même que précédemment, en utilisant le signe du dénominateur , on obtient: et .
  3. On en déduit que la droite d'équation est une asymptote horizontale à en et , et que les droites d'équation et sont des asymptotes verticales à .
  4. .


  5. On peut alors tracer la courbe représentant en commençant par ses asymptotes.
     
    On n'oublie pas non plus que admet une tangente horizontale en .




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