Exercice type Bac

Suite récurrente définie par une fonction, démonstration par récurrence, et limite


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Soit la fonction définie sur par:   .
  1. Dresser le tableau de variation de .
  2. On considère la suite définie par:
    1. Calculer et (donner les résultats sous forme de frations irréductibles, puis sous forme décimales arrondies à près).
    2. Démontrer, par récurrence, que pour tout , on a:
    3. Démontrer que, pour tout : .
    4. En déduire, par récurrence, que pour tout entier , .
    5. En déduire la limite de la suite .

Solution:


Soit la fonction définie sur par:   .
  1. .



  2. On considère la suite définie par:


    1. Initialisation: et , ainsi on a bien , et la propriété est vraie au rang .
      Hérédité: Supposons que pour un entier , on ait .
      Alors, comme est strictement croissante sur , donc aussi sur , on a alors

      soit, comme , , et ,

      et la propriété est encore vraie au rang . Conclusion: D'après le principe de récurrence, on vient de démontrer que, pour tout entier , .

    2. or, car et .
      Ainsi, pour tout entier , .
    3. Initialisation: , car , et la propriété est donc vraie au rang .
      Hérédité: Supposons que pour un entier on ait: .
      D'après la question précédente, on a , et donc, en utilisant l'hypothèse de récurrence: .
    4. Comme , on a , et donc, .
      Ainsi, d'après le théorème des gendarmes, on a donc , soit donc, .


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