Bac Liban, mai 2013 - Exercice corrigé

Suite récurrente - Algorithme et limite


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(Bac S, 28 mai 2013, Liban, 4 points)
On considère la suite numérique définie pour tout entier naturel par



Partie A
 
  1. On souhaite écrire un algorithme affichant, pour un entier naturel donné, tous les termes de la suite, du rang au rang . Parmi les trois algorithmes suivants, un seul convient. Préciser lequel en justifiant la réponse.

  2. Pour on obtient l'affichage suivant :
     


     

    Pour , les derniers termes affichés sont :
     



     
    Quelles conjectures peut-on émettre concernant la suite ?
     
    1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel , .
    2. Démontrer que, pour tout entier naturel , . La suite est-elle monotone ?
    3. Démontrer que la suite est convergente.



Partie B Recherche de la limite de la suite
 

On considère la suite définie pour tout entier naturel par


  1. Démontrer que est une suite arithmétique de raison
  2. En déduire l'expression de , puis celle de en fonction de .
  3. Déterminer la limite de la suite .

Solution:



Partie A
 

  1. L'algorithme n1 calcule bien tous les termes de à mais n'affiche par contre que le dernier .
    Dans l'algorithme n2, à chaque boucle la valeur de est remise à . cet algorithme calcule donc fois de suite à partir de et ne calcule antre autre pas les termes de à .
    L'algorithme n3 calcule tous les termes de à et les affiche bien successivement (l'affichage se fait dans la boucle, après chaque calcul de ).
     
    L'algorithme n3 est donc l'algorithme qui convient.
  2. D'après les tables de valeurs de la suite la suite semble croissante et converger vers un nombre proche de .
    1. Montrons par récurrence que, pour tout entier , .
       
      Initialisation: Pour , on a bien car ; ainsi la propriété est vraie au rang .
       
      Hérédité: Supposons que pour un certain entier , on ait .
      On a alors , puis , car la fonction inverse est décroissante sur .
      Ainsi, en multipliant par ,    .
      On a donc alors , et la propriété est donc encore vraie au rang .
       
      Conclusion: D'après le principe de récurrence, la propriété est vraie pour tout entier naturel .
    2. Pour tout entier ,    .
       
      Or, d'après la question précédente, pour tout , , ainsi donc (en particulier ), et , d'où .
      Ainsi la suite est strictement croissante.
    3. Comme la suite est croissante et majorée par 3, elle converge donc vers une limite inférieure ou égale à 3.



Partie B
 



  1. ainsi la suite est arithmétique de raison .
  2. On en déduit que, pour tout entier , , avec , et donc, .
    De plus , et on a donc, .
  3. Comme , on a donc .


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