Bac juin 2009 - Exercice corrigé

Suite récurrente, démonstration par récurrence, et limite d'une suite


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(Baccalauréat France métropolitaine, juin 2009, 4 points)
 
Les deux questions de cet exercice sont indépendantes.
 
  1. On considère la suite définie par et, pour tout entier naturel :
    On pose, pour tout entier naturel , .
     
    1. Pour tout nombre entier naturel , calculer en fonction de .
       
      Quelle est la nature de la suite ?
    2. Démontrer que pour tout entier naturel :
    3. Etudier la convergence de la suite .

  2. On considère la suite dont les termes vérifient, pour tout nombre entier :
    Le tableau suivant donne les premiers termes de cette suite:
    1. Détailler le calcul permettant d'obtenir .
       
    2. Dans cette question toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation. Donner la nature de la suite . Calculer .

Solution:


    1. Pour tout nombre entier naturel , .
       
      On en déduit que est géométrique de raison et de premier terme .
       
    2. D'après la question précédente, pour tout entier , , et donc que, pour tout entier n ,  .
       
    3. Comme , , et donc, .

     
    1. Pour , , d'où, .
       
    2. D'après les valeurs de pour les premiers entiers, on peut conjecturer que .
       
      Démonstration de la conjecture: Démonstration par récurrence.
      Initialisation: La relation est vraie pour tous les entiers .
      Hérédité: Supposons que pour un certain entier , (hypothèse de récurrence), alors, d'après l'hypothèse de récurrence.
      On a donc, , soit donc .
      Ainsi, l'expression est encore vraie au rang .
       
      On a ainsi démontré d'après le principe de récurrence que, pour tout entier , .
       
      On en déduit que .


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