Bac Antilles-Guyane, septembre 2010 - Exercice corrigé

Suite récurrente, démonstration par récurrence, et somme des premiers termes d'une suite


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Antilles-Guyane, septembre 2010
On considère la suite de nombres réels définie sur par:
 



  1. Calculer et en déduire que la suite n'est ni arithmétique, ni géométrique.
  2. On définit la suite en posant, pour tout entier naturel , .
    1. Calculer .
    2. Exprimer en fonction de .
    3. En déduire que la suite est géométrique de raison .
    4. Exprimer en fonction de .

  3. On définit la suite en posant, pour tout entier naturel , .
    1. Cacluler .
    2. En utilisant l'égalité , exprimer en fonction de et de .
    3. En déduire que pour tout de , .
    4. Exprimer en fonction de .

  4. Montrer que pour tout entier naturel : .
  5. Pour tout entier naturel , on pose  . Démontrer par récurrence que pour tout de : .

Solution:


Antilles-Guyane, septembre 2010
  1. .
    On a donc, et ce qui montre que n'est pas arithmétique.
    De même, et ce qui montre que n'est pas non plus géométrique.
    1. .
    2. .
    3. La suite est donc géométrique de raison .
    4. On a alors, pour tout entier naturel , .

    1. .
    2. d'après 2.
       
    3. On a ainsi,
    4. est donc une suite arithmétique de raison 2 et de premier terme , et on a donc, pour tout entier naturel , .

  2. On a .
  3. Initialisation: Pour , on a , donc la propriété est vraie.
    Hérédité: Supposons que pour un entier naturel , on ait .
    Alors, , d'après l'hypothèse de récurrence.
    Ainsi, , ce qui montre que la formule est alors encore vraie au rang .
    Conclusion: On vient donc de montrer, d'après le principe de récurrence, que pour tout entier naturel , .


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