Exercice Bac S, juin 2013

Suite récurrente, démonstration par récurrence, limite, somme des premiers termes


Bac S, 20 juin 2013, 5 points
Soit la suite numérique définie sur par :
    1. Calculer et . On pourra en donner des valeurs approchées à près.
    2. Formuler une conjecture sur le sens de variation de cette suite.
    1. Démontrer que pour tout entier naturel ,
    2. Démontrer que pour tout entier naturel ,
    3. En déduire une validation de la conjecture précédente.
  1. On désigne par la suite définie sur par .
    1. Démontrer que la suite est une suite géométrique de raison .
    2. En déduire que pour tout entier naturel ,
    3. Déterminer la limite de la suite .
  2. Pour tout entier naturel non nul , on pose:
    1. Exprimer en fonction de .
    2. Déterminer la limite de la suite .

Solution:


    1. On calcule les premiers termes, par exemple en utilisant le mode récurrence de la calculatrice, et on obtient: ;   ;   ;  
    2. On peut donc émettre la conjecture que la suite est croissante. On pourra en tout cas affirmer qu'elle n'est pas décroissante.
    1. Nous allons montrer par récurrence, pour tout entier naturel , la propriété : . Initialisation : Puisque l'on a et , on vérifie bien : : la propriété est bien vraie.
       
      Hérédité : Pour un entier naturel donné, on suppose la propriété vraie. On a . Par hypothèse de récurrence : En multipliant par un nombre positif: , soit Puis, en ajoutant un même nombre dans chaque membre : Ce qui donne : . On a donc , c'est à dire que la propriété est encore vraie. Conclusion: Puisque la propriété est vraie et que nous avons prouvé l'hérédité, on peut en déduire que pour tout entier naturel , on a vraie, c'est à dire que pour tout entier naturel , on a bien .
    2. On a donc bien . Comme on l'a montré à la question précédente, pour tout naturel, on a ce qui équivaut à dire que la différence est positive, et elle le reste en étant multipliée par , donc la différence entre deux termes consécutifs étant positive, on confirme bien que notre conjecture était correcte : la suite est bien croissante, dès le rang 0.
    1. Exprimons, pour un entier naturel quelconque, en fonction de : Donc . La relation de récurrence obtenue confirme que la suite est bien géométrique de raison et de premier terme .
    2. On peut donc en déduire que pour totu entier , . Enfin, puisque l'on a, pour tout , , on en déduit : , et donc on aboutit bien à l'expression demandée : .
    3. Puisque la raison est strictement comprise entre et , on en déduit que la limite de la suite est 0, et donc par limite d'une somme de suites, la limite de la suite est donc , et la suite est donc divergente.
    1. est la somme de premiers termes de la suite .



    2. On en déduit: . Puisque on a : , et donc: . De plus , et donc finalement, par limite d'une somme, .


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