Exercice type Bac - Fonction exponentielle

Une fonction avec exponentielle à identifier et à étudier


Tous les exercices type Bac 


On considère les points et et la droite d'équation .
On note la fonction définie sur dont la courbe représentative, notée est donnée ci-contre.
 
On suppose de plus qu'il existe deux réels et tels que:
  • pour tout réel , .
  • les points et appartiennent à la courbe .

    1. Montrer que le couple est solution du système:
       
    2. En déduire que, pour tout réel , .
  1. Déterminer la limite de en .
    1. Montrer que pour tout réel , .
    2. En déduire le limite de en .

  2. Etudier les variations de . On donnera le tableau de variations complet.
  3. Etudier la position relative de la courbe et de la droite .

Solution:




    1. Ainsi, le couple est bien solution du système:
    2. On résout le système précédent. En soustrayant ces deux équations, on obtient .
      De même, en multipliant la deuxième équation par 2, et en soustrayant les deux équations, on obtient , soit .
      On en déduit l'expression de :   .
  1. , et . Ainsi, par composition des limites, .
    Comme , on trouve, par produit des limites, que ,
    1. Pour tout réel , .
    2. Soit , alors , car l'exponentielle est prépondérante en devant . Ainsi, .

  2. Pour tout réel , .
    Pour tout réel , , d'où



  3. Pour tout réel , .
    Or, , car la fonction exponentielle est strictement croissante sur , et ainsi, .
    On en déduit:

     
    Ainsi, sur , est au-dessus de , tandis que sur , est au-dessous de . Enfin, et se coupent aux points de coordonnées et .


Tous les exercices type Bac