Bac S Nouvelle Calédonie 2015 - Analyse
Fonction avec un paramètre et une exponentielle
Exercice corrigé bac S, Nouvelle Calédonie 2015 - Analyse: étude de fonctions avec un paramètre et exponentielle
Le plan est rapporté à un repère orthogonal .
Soit un nombre réel strictement positif.
On note la droite d'équation et la courbe représentative de la fonction exponentielle dans le repère orthogonal .
Le but de cet exercice est de déterminer le nombre de points d'intersection de et suivant les valeurs de .
Pour cela. on considère la fonction définie pour tout nombre réel par
On admet pour tout réel que la fonction est dérivable sur l'ensemble des nombres réels.
- Étude du cas particulier
La fonction est donc définie pour tout réel par
.
- Étudier les variations de la fonction sur et dresser son tableau de variations sur (on ne demande pas de déterminer les limites aux bornes de l'ensemble de définition.
- En déduire que et n'ont pas de point d'intersection.
- Étude du cas général où est un réel strictement positif
- Déterminer les limites de la fonction en et en .
- Étudier les variations de la fonction sur . Montrer alors que le minimum sur de la fonction est .
- Étudier le signe de suivant les valeurs du nombre réel strictement positif .
- Déterminer selon les valeurs du réel le nombre de points communs à et .
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