Exercice type Bac - Fonction exponentielle

Etude d'une fonction avec exponentielle


Soit la fonction définie sur par    .
  1. Soit la fonction dérivée de la fonction . Calculer pour tout réel de .
    Vérifier que la fonction dérivée seconde est définie sur par .
  2. En déduire les variations de la fonction sur .
  3. Etablir que l'équation admet une unique solution dans l'intervalle .
    Déterminer une valeur approchée de à près.
  4. En déduire les variations de sur .

Solution:


Soit la fonction définie sur par    .
  1. Pour tout réel , .
     
    Pour tout réel , .
  2. Pour tout réel , et , et donc,



  3. La fonction est dérivable, donc continue, et strictement croissante sur .
    De plus, , et .
    Ainsi, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation admet une unique solution dans l'intervalle .
    A la calculatrice, on trouve et .
    Ainsi, , c'est-à-dire .
  4. D'après ce qui précède, on a:



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