Exercice type Bac - Analyse - Fonction exponentielle

Recherche du maximum d'une fonction


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On considère la fonction définie sur par l'expression .
On cherche à montrer que la fonction admet un maximum sur et, bien sür, à localiser ce maximum.
 
Partie A. Etude d'une fonction auxiliaire
On considère la fonction définie sur par l'expression . On note sa courbe représentative.
  1. Déterminer les limites de en et .
    Préciser les éventuelles asymptotes de .
  2. Dresser le tableau de variation de .
  3. Démontrer qu'il existe un unique réel tel que .
    Donner un encadrement de d'amplitude .

Partie B. Etude de
  1. Déterminer le sens de variation de la fonction sur .
  2. Déterminer les limites de en et .
  3. En déduire que admet sur son maximum en et montrer que .
    En déduire en encadrement d'amplitude du maximum de .

Solution:


définie sur par l'expression .
 
Partie A. Fonction auxiliaire: définie sur par l'expression .
  1. En : .
    et, par croissance comparée en l'infini de l'exponentielle et des polynômes, , et ainsi, par addition des limites, .
    On en déduit que la droite d'équation est une asymptote horizontale à en .
     
    En : , et , d'où, par produit des limites, .
  2. , avec et donc,
    Ainsi, , soit .
    On a alors,


  3. Pour tout , , et donc l'équation n'admet aucune solution.
    Sur , est continue (et même dérivable), strictement décroissante, et telle que et . Ainsi, il existe un unique réel tel que , avec de plus .
    On trouve avec la calculatrice, et . Ainsi, .

Partie B. Etude de
  1. On a , avec et donc, . Ainsi, ,
    soit, pour tout , .
    Comme pour tout , , on a et donc, , et, d'après la partie A, on a donc,


  2. En , on a simplement, .
    En , , avec , par croissance comparée, et . Ainsi, par produit et quotient de limites, on obtient .
  3. On déduit du tableau de variation précédent que admet un maximum global en . De plus, on avait .
    Alors, .
    On a donc, grâce à la partie A, .


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