Bac S Antilles-Guyane juin 2014 - Analyse

Exponentielles - Intégrale


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On considère la fonction définie et dérivable sur l'ensemble des nombres réels par

On note sa courbe représentative.
 
Partie A
  1. Soit la fonction définie et dérivable sur l'ensemble par . Dresser, en le justifiant, le tableau donnant les variations de la fonction sur (les limites de aux bornes de son ensemble de définition ne sont pas attendues). En déduire le signe de .
  2. Déterminer la limite de en puis la limite de en .
  3. On appelle la dérivée de la fonction sur .
    Démontrer que, pour tout réel , .
  4. En déduire le tableau de variation de la fonction sur .
  5. Démontrer que l'équation admet une unique solution réelle sur . Démontrer que .
    1. Démontrer que la droite d'équation est tangente à la courbe au point d'abscisse .
    2. Étudier la position relative de la courbe et de la droite .




Partie B
  1. Soit la fonction définie et dérivable sur par .
    Démontrer que est une primitive sur de la fonction définie par .
  2. On note le domaine délimité par la courbe , la droite et les droites d'équation et . Calculer, en unité d'aire, l'aire du domaine .

Solution:


(Bac S, Antilles-Guyane, juin 2014)
Partie A
  1. Pour tout réel , . On a alors , et donc,


    On déduit du tableau précédent que, pour tout réel , .
  2. En . et donc, par somme: .
    En . et, par croissances comparées , donc, par somme .
  3. Pour tout réel , on a:
  4. On a vu plus haut que, pour tout réel , , et comme par ailleurs , on en déduit que .
    On obtient alors le tableau de variations suivant:


  5. La fonction est continue sur , strictement croissante. D'après un corollaire du théorème des valeurs intermédiaires (théorème de la bijection), l'intervalle a pour image , ce dernier intervalle contenant 0, on en déduit que l'équation possède dans une solution unique.
    Par ailleurs, et , donc: .
    1. La tangente a pour équation réduite:

    2. Pour tout réel , ,
      et donc,


      On en déduit que est située en dessous de .

Partie B
  1. Pour tout réel , ,
    et la fonction est donc une primitive de sur .
  2. Sur , est en dessous de , l'aire du domaine est donc:



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