Bac S métropole septembre 2014 - Analyse
Exponentielles - Intégrale
Exercice corrigé Bac S, métropole 11 septembre 2014: Etudes de fonctions avec une exponentielle, calcul d'aire
Sur le graphique ci-dessous, on a tracé, dans un repère orthonormé , une courbe et la droite où et sont les points de coordonnées respectives et .
On désigne par la fonction dérivable sur dont la courbe représentative est .
On suppose, de plus, qu'il existe un réel tel que pour tout réel ,
-
- Justifier que la courbe passe par le point .
- Déterminer le coefficient directeur de la droite .
- Démontrer que pour tout réel ,
- On suppose que la droite est tangente à la courbe
au point .
Déterminer la valeur du réel .
- D'après la question précédente, pour tout réel ,
- Démontrer que pour tout réel de l'intervalle , .
- Démontrer que pour tout réel inférieur ou égal à , .
- Démontrer qu'il existe un unique réel de l'intervalle tel que . Justifier que .
- On désigne par l'aire, exprimée en unités d'aire,
du domaine défini par:
- Écrire sous la forme d'une intégrale.
- On admet que l'intégrale
est une valeur approchée de à près.
Calculer la valeur exacte de l'intégrale .
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