Bac S métropole septembre 2014 - Analyse

Exponentielles - Intégrale


Sur le graphique ci-dessous, on a tracé, dans un repère orthonormé $\left( O;\vec{i},\vec{j}\rp, une courbe $\mathcal{C} et la droite $(AB)$A et $B sont les points de coordonnées respectives $(0~;~1) et $(-1~;~3).

\psset{unit=1.2cm,arrowsize=7pt}
\begin{pspicture}(-3,-2.2)(3,3.5)
\psline[linewidth=1pt]{->}(-3,0)(3,0)
\psline[linewidth=1pt]{->}(0,-2.2)(0,3.8)
\rput(0,1){$\tm$}\rput(-1,3){$\tm$}
\uput[ur](0,1){$A$}\uput[l](-1,3){$B$}
\uput[dl](0,0){O}
\psline[linewidth=1.6pt]{->}(0,0)(1,0)\uput[d](0.5,0){$\vec{i}$}
\uput[d](-1,0){$- 1$}\uput[r](0,3){3}
\psline[linewidth=1.6pt]{->}(0,0)(0,1)\uput[l](0,0.5){$\vec{j}$}
\uput[d](-2,-1.2){$\mathcal{C}$}
\psline[linestyle=dashed](-1,0)(-1,3)(0,3)
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-2.5}{2.5}{1 x add x 3 mul 2.71828 x dup mul exp div sub}
\psplot{-1.4}{1.5}{1 x 2 mul sub}
\end{pspicture}

On désigne par $f la fonction dérivable sur $\R dont la courbe représentative est $\mathcal{C}.
On suppose, de plus, qu'il existe un réel $a tel que pour tout réel $x,
f(x) = x + 1 + axe^{- x^2}.

    1. Justifier que la courbe $\mathcal{C} passe par le point $A.
    2. Déterminer le coefficient directeur de la droite $(AB).
    3. Démontrer que pour tout réel $x,
      f'(x) = 1 - a\left(2x^2 - 1\right)e^{- x^2}.

    4. On suppose que la droite $(AB) est tangente à la courbe $\mathcal{C} au point $A.
      Déterminer la valeur du réel $a.
  1. D'après la question précédente, pour tout réel $x,
    f(x) = x + 1 - 3xe^{- x^2}
  \quad \text{et} \quad 
  f'(x) = 1 + 3\left(2x^2 - 1\right)e^{- x^2}.

    1. Démontrer que pour tout réel $x de l'intervalle $]- 1~;~0], $f(x) > 0.
    2. Démontrer que pour tout réel $x inférieur ou égal à $- 1, $f'(x) > 0.
    3. Démontrer qu'il existe un unique réel $c de l'intervalle $\left[- \dfrac{3}{2}~;~- 1\right] tel que $f(c) = 0. Justifier que $c<-\dfrac{3}{2} + 2.10^{-2}.
  2. On désigne par $\mathcal{A} l'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine défini par:
    c \leqslant x \leqslant 0
  \quad \text{et}\quad  
  0 \leqslant y \leqslant f(x).

    1. Écrire $\mathcal{A} sous la forme d'une intégrale.
    2. On admet que l'intégrale $I = \dsp\int_{-\frac{3}{2}}^0 f(x)\,dx est une valeur approchée de $\mathcal{A} à $10^{-3} près.
      Calculer la valeur exacte de l'intégrale $I.

Solution:


Bac S - métropole, 11 septembre 2014 - 5 points
    1. On a $f(0)=1 ce qui montre que le point de coordonnées $(0;1), c'est-à-dire $A, appartient à $\mathcal{C}.
    2. Le coefficient directeur de la droite $(AB) est $\dfrac{y_{B}-y_{A}}{x_{B}-x_{A}} = \dfrac{3-1}{-1-0}=-2.
    3. $f est de la forme $f(x)=x+1+a u(x) v(x), avec $u(x)=x donc $u'(x)=1 et $v(x)=e^{-x^2}=e^{w(x)} donc $v'(x)=w'(x)e^{w(x)}=-2xe^{-x^2}.
      Ainsi, $f'(x)=1+a\left( u'(x)v(x)+u(x)v'(x)\right)
    =1+a\left( e^{-x^2}-2x^2e^{-x^2}\right)
    =1-a\lp2x^2-1\right) e^{-x^2}.
    4. Si la droite $(AB) est tangente à la courbe $\mathcal{C} au point $A d'abscisse $0, alors le coefficient directeur de $(AB) est $f'(0)=-2. Ainsi, $1 - a\left (0-1\right )e^0 = -2 \iff 1+a=-2 \iff a=-3
  1. On a donc, avec $a=-3, $f(x) = x + 1 - 3xe^{- x^2} \text{ et } f'(x) = 1 + 3\lp2x^2-1\right) e^{- x^2}.
    1. Pour tout réel $x\in]-1;0], $e^{-x^2}>0 et $-3x\geqslant 0, donc $-3xe^{-x^2}\geqslant 0.
      Pour tout $x\in]-1;0], $x>-1, donc $x+1>0, alors, par addition, $f(x)=x+1+\left( -3xe^{-x^2}\rp>0.
    2. Pour $x\leqslant -1, $x^2\geqslant 1, donc, $2x^2\geqslant 2 et $2x^2-1\geqslant 1>0. Ainsi, $3\left( 2x^2-1\right) e^{-x^2}>0 et alors $f'(x)=1+3\left( 2x^2-1\right) e^{-x^2}>1>0.
    3. Sur $] -\infty\,;\,-1], $f est dérivable donc continue, avec $f'(x)>0 donc la fonction $f est strictement croissante sur cet intervalle donc aussi sur l'intervalle $\left[ -\dfrac{3}{2}\,;\, -1\rb.
      Or $f\left (-\dfrac{3}{2}\right ) \approx -0,026<0 et $f(-1)\approx
1,10>0 donc, d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires (ou théorème de la bijection), l'équation $f(x)=0 admet une solution unique $c dans l'intervalle $\lb-\dfrac{3}{2}\,;\, -1\rb.
      Or $f\lp- \dfrac{3}{2} + 2.10^{-2}\right) \approx 0,017>0 donc $c\in\lb-\dfrac{3}{2}\,;\,-\dfrac{3}{2}+2.10^{-2}\right[ et donc $c < -\dfrac{3}{2}+2.10^{-2}.

    1. Comme $f(x)\geqslant 0 sur $[c;0], alors $\mathcal A = \dsp\int_c^0 f(x) dx.
    2. La fonction $x \mapsto x+1 a pour primitive la fonction $x \mapsto \dfrac{x^2}{2}+x.
      La fonction $x \mapsto -2xe^{-x^2} (forme $u'e^{u}) a pour primitive la fonction $x \mapsto e^{-x^2} donc la fonction $x
\mapsto -3xe^{-x^2} a pour primitive la fonction $x\mapsto\dfrac{3}{2}\,e^{-x^2}.
      La fonction $f a donc pour primitive la fonction $F définie par $F(x)=\dfrac{x^2}{2}+x+\dfrac{3}{2}e^{-x^2}.
      On a alors $I= F(0) - F\lp-\dfrac{3}{2}\right) 
=\dfrac{3}{2}-\lp\dfrac{9}{8}-\dfrac{3}{2}+\dfrac{3}{2}e^{-\frac{9}{4}}\right) 
=\dfrac{15}{8}-\dfrac{3}{2}e^{-\frac{9}{4}}


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